A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük az adott pontot -vel, a tőle legtávolabb levő körközéppontot -gyel (illetve ha több ilyen van, ezek bármelyikét); az közepű kört -gyel. Ekkor minden adott kör középpontja a körüli, sugarú körben van vagy ennek határvonalán. (A "cirkulus'' szó kezdőbetűjével további nem az adottak közül való köröket fogunk jelölni.)
Messe a -et a és pontban, és legyen , , tükörképe -re , , . A kör lefed minden olyan körközéppontot, amely a konvex körcikkbe esik, beleértve ennek határát is. A , , sugarak hátra levő részét 4 további körcikkre osztják, nyílásszögük . Megmutatjuk, hogy az ezekbe eső középponthalmazok lefedésére is található egy‐egy alkalmas kör az adottak közül. Elég ezt például a körcikkre belátni, hozzá értve a , sugarakat is; a további három körcikkben ugyanezt a gondolatmenetet alkalmaznánk. Föltehetjük, hogy a kiszemelt szektorban van adott középpont, hiszen ha sem ebben, sem a többi 3-ban nem volna, máris készen volnánk. Legyen az -beli körközéppontok közül a -től legtávolabbi ‐ vagy egy az ilyenek közül ‐ , ekkor az -beli középpontok benne vannak a szögtartománynak abban a részében is, amely a körüli, -n átmenő körnek is a belsejébe esik vagy a határára. Ezt a részt pedig nyilván lefedi az körüli adott kör. Ezzel bebizonyítottuk az állítást. Terenyi Zoltán (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., IV. o. t.) Megjegyzések: 1. A megoldásban nem használtuk ki, hogy pontosan 1980 db körünk van, csak azt, hogy véges sok. 2. Könnyen látható, hogy 4 kör nem mindig tehet eleget a követelménynek, pl. abban az esetben, ha 5 középpont szabályos ötszöget alkot középponttal, a többi középpont pedig -hez "közel'' van. 3. Fontos az is, hogy lehet egy középpont valamelyik kiválasztott körnek a határán is, mert különben ha 6 középpont szabályos hatszöget alkot középponttal, és nincs nagyobb az adott körök között, mint ez a 6, akkor nem teljesülne a követelmény.
|