Kezdőlap


Feladat:	F.2267	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Magyar Ákos
Füzet:	1981/január, 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: F.2267

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenleteket négyzetre emelve, majd a különbségüket képezve, az

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = x^{2} - y^{2} \end{matrix}

(2)

összefüggéshez jutunk. Ezt (1)-be helyettesítve a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} x - y \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} = a \sqrt[]{1 - a^{2} + b^{2}}, \\ y - x \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} = b \sqrt[]{1 - a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

Ezt megoldva:

\begin{matrix} x = \frac{a + b \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{\sqrt[]{1 - a^{2} + b^{2}}}, y = \frac{b + a \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{\sqrt[]{1 - a^{2} + b^{2}}} . \end{matrix}

(3)

Ezek az értékek csak akkor léteznek, ha a gyökjel alatt nem negatív mennyiségek állnak és a nevező nem

0

, tehát ha

a

és

b

teljesíti az

0 \leq a^{2} - b^{2} < 1

feltételt. Ekkor (2) is teljesül, tehát a (3) alatti

x

és

y

adja az egyenletrendszer egyetlen megoldását. Ha

a^{2} - b^{2} < 0

vagy,

a^{2} - b^{2} \geq 1

, akkor (1)-nek nincs megoldása.
(K. M.)

Magyar Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)