Feladat: F.2267 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Magyar Ákos 
Füzet: 1981/január, 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/szeptember: F.2267

Adottak az a és b értékek. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x-yx2-y21-x2+y2=a,y-xx2-y21-x2+y2=b.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenleteket négyzetre emelve, majd a különbségüket képezve, az

a2-b2=x2-y2(2)
összefüggéshez jutunk. Ezt (1)-be helyettesítve a következő egyenletrendszert kapjuk:
x-ya2-b2=a1-a2+b2,y-xa2-b2=b1-a2+b2.


Ezt megoldva:
x=a+ba2-b21-a2+b2,y=b+aa2-b21-a2+b2.(3)
Ezek az értékek csak akkor léteznek, ha a gyökjel alatt nem negatív mennyiségek állnak és a nevező nem 0, tehát ha a és b teljesíti az 0a2-b2<1 feltételt. Ekkor (2) is teljesül, tehát a (3) alatti x és y adja az egyenletrendszer egyetlen megoldását. Ha a2-b2<0 vagy, a2-b21, akkor (1)-nek nincs megoldása.
 (K. M.)
 

 Magyar Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)