Kezdőlap


Feladat:	F.2263	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barla F. , Benedek Ágnes , Csere K. , Csikós Zs. , Czakó F. , Danyi P. , Dósa Gy. , Drávucz Katalin , Feledi Gy. , Fritz P. , Görög I. , Heckenast L. , Kántor Zs. , Kappelmayer Hedvig , Kárpáti I. , Kelemen B. , Kiss 352 Gy. , Kiss E. , Kovács 131 I. , Krähling János , Laki Éva , Madarász J. , Megyeri L. , Mihálykó Cs. , Ódor T. , Oláh R. , Scholtz Z. , Simonyi G. , Sz. Nagy Cs. , Szabó T. , Szegedy P. , Tranta Beáta , Umann G. , Vajnai A. , Weisz F. , Öreg E. Zs.
Füzet:	1980/november, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/május: F.2263

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gúla örökli az alaprombusz szimmetriáit: $A O E$ és $B O E$ szimmetriasíkok, a kérdéses lapszögek közül 2‐2 egyenlő, és elég kiszámítani mindegyik fajtának a felét.
Legyen $O$ vetülete az $E A$ rövidebb oldalélen $P$ , az $E B$ hosszabb oldalélen $R$ . Mivel $O B$ merőleges az $A O E$ síkra, azért a benne levő $O P$ -re is, tehát az $E A$ élű lapszög fele éppen az $O P B$ szög, és ugyanígy az $E B$ élű lapszög fele az $O R A$ szög.

\begin{matrix} tg O P B ∢ = \frac{O B}{O P} = \frac{O B}{\frac{O A \cdot O E}{A E}} = \frac{O B}{O A} \cdot \frac{A E}{O E}, \end{matrix}

felhasználtuk az

O A E

háromszög területe 2-szeresének kétféle kifejezését. Ugyanígy

\begin{matrix} tg O R A ∢ = \frac{O A}{O B} \cdot \frac{B E}{O E} . \end{matrix}

A számításhoz jelöljük röviden

\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} = a

(az aranymetszés ‐ "aurea szekció'' arányszáma), és válasszuk hosszegységnek

O B

-t. Így

\begin{matrix} O A = \frac{1}{a} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}, O E = a, \\ A E^{2} = {(\frac{1}{a})}^{2} + a^{2} = \frac{(3 - \sqrt[]{5}) + (3 + \sqrt[]{5}}{2} = 3, \\ B E^{2} = 1 + a^{2} = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{2}, \\ tg O P B ∢ = \sqrt[]{3}, \\ tg O R A ∢ = \sqrt[]{1 + a^{2}} \cdot \frac{1}{a^{2}} = \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{5}}, \end{matrix}

a félszögek

60^{\circ}

és

36^{\circ}

, tehát a gúla éleinél levő lapszögek

120^{\circ}

és

72^{\circ}

Megjegyzés. Eredményünk szerint 3 ilyen gúlát

E

, valamint

A

-típusú csúcsaikkal összeillesztve, a teret az

E A

él mentén hézagtalanul és egyrétűen kitöltöttük. Hasonlóan 5 ilyen gúlával kitölthető a térben a

B E

él környezete.
30 ilyen gúlát így összerakva

E

környezetét kitöltöttük, kifelé csak a 30 alaprombusz látható. Az összképet 1980. februári számunk borítólapja hátoldalának jobb alsó ábrája mutatja; annak bevezetője szerint a 30 lapot 5 színnel alkalmasan festve, a 6‐6 egyező színű lap síkjai 1‐1 kockát adnak.