Feladat: F.2263 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barla F. ,  Benedek Ágnes ,  Csere K. ,  Csikós Zs. ,  Czakó F. ,  Danyi P. ,  Dósa Gy. ,  Drávucz Katalin ,  Feledi Gy. ,  Fritz P. ,  Görög I. ,  Heckenast L. ,  Kántor Zs. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Kárpáti I. ,  Kelemen B. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Kovács 131 I. ,  Krähling János ,  Laki Éva ,  Madarász J. ,  Megyeri L. ,  Mihálykó Cs. ,  Ódor T. ,  Oláh R. ,  Scholtz Z. ,  Simonyi G. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szabó T. ,  Szegedy P. ,  Tranta Beáta ,  Umann G. ,  Vajnai A. ,  Weisz F. ,  Öreg E. Zs. 
Füzet: 1980/november, 136 - 137. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyszög alapú gúlák, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/május: F.2263

Egy gúla alapja az ABCD rombusz, E csúcsa az átlók O metszéspontjában állított merőlegesen van, továbbá
OA:OB=OB:OE=1:1+52.
Számítsuk ki a gúla két-két szomszédos oldallapja közti szögeket !

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gúla örökli az alaprombusz szimmetriáit: AOE és BOE szimmetriasíkok, a kérdéses lapszögek közül 2‐2 egyenlő, és elég kiszámítani mindegyik fajtának a felét.
Legyen O vetülete az EA rövidebb oldalélen P, az EB hosszabb oldalélen R. Mivel OB merőleges az AOE síkra, azért a benne levő OP-re is, tehát az EA élű lapszög fele éppen az OPB szög, és ugyanígy az EB élű lapszög fele az ORA szög.

 
 

tgOPB=OBOP=OBOAOEAE=OBOAAEOE,
felhasználtuk az OAE háromszög területe 2-szeresének kétféle kifejezését. Ugyanígy
tgORA=OAOBBEOE.

A számításhoz jelöljük röviden 1+52=a (az aranymetszés ‐ "aurea szekció'' arányszáma), és válasszuk hosszegységnek OB-t. Így

OA=1a=5-12,OE=a,AE2=(1a)2+a2=(3-5)+(3+52=3,BE2=1+a2=5+52,tgOPB=3,tgORA=1+a21a2=5-25,


a félszögek 60 és 36, tehát a gúla éleinél levő lapszögek 120 és 72.
 

Megjegyzés. Eredményünk szerint 3 ilyen gúlát E, valamint A-típusú csúcsaikkal összeillesztve, a teret az EA él mentén hézagtalanul és egyrétűen kitöltöttük. Hasonlóan 5 ilyen gúlával kitölthető a térben a BE él környezete.
30 ilyen gúlát így összerakva E környezetét kitöltöttük, kifelé csak a 30 alaprombusz látható. Az összképet 1980. februári számunk borítólapja hátoldalának jobb alsó ábrája mutatja; annak bevezetője szerint a 30 lapot 5 színnel alkalmasan festve, a 6‐6 egyező színű lap síkjai 1‐1 kockát adnak.