Kezdőlap


Feladat:	F.2257	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1980/november, 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Függvény határértéke, Polinomok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: F.2257

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Deriváljuk az azonosság mindkét oldalát! (Ez $sin n x$ folytonosan deriválhatósága alapján megtehető.) Így kapjuk az

\begin{matrix} n \cdot cos n x = - P'_{n} (cos x) \cdot sin^{2} x + P_{n} (cos x) \cdot cos x \end{matrix}

újabb azonosságot, melybe

x = 0

-t helyettesítve adódik az állítás.

II. megoldás. Az azonosság mindkét oldalát

n x

-szel osztva kapjuk, hogy tetszőleges

x \neq 0

esetén

\begin{matrix} \frac{sin n x}{n x} = \frac{P_{n} (cos x)}{n} \cdot \frac{sin x}{x} . \end{matrix}

Tartsunk

x

-szel 0-hoz, a két oldal határértéke nyilván megegyezik. Felhasználva

P_{n}

folytonosságát és a

{lim}_{x \to 0}^{} \frac{sin x}{x} = 1

összefüggést, kapjuk, hogy

1 = \frac{P (1)}{n}

III. megoldás. A bizonyítandó állítást

n

szerinti teljes indukcióval látjuk be.

n = 1

-re

P_{1}

nyilvánvalóan az azonosan 1 polinom, így ekkor a megfelelő állítás teljesül.
Tegyük fel, hogy

P_{n} (1) = n

igaz. Felhasználva a

\begin{matrix} sin (n + 1) x = sin n x cos x + cos n x sin x \end{matrix}

azonosságot, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} P_{n + 1} (cos x) \cdot sin x = P_{n} (cos x) \cdot sin x \cdot cos x + cos n x sin x, \end{matrix}

azaz

x \neq k π (k = 0, \pm 1, \pm 2, ...)

esetén

\begin{matrix} P_{n + 1} (cos x) = P_{n} (cos x) = P_{n} (cos x) \cdot cos n x . \end{matrix}

E kapott azonosság mindkét oldala folytonos, így az

x \to 0

határátmenettel

P_{n + 1} (1) = P_{n} (1) + 1

adódik. Felhasználva az indukciós feltevést, azt kapjuk, hogy

P_{n + 1} (1) = n + 1

. Ezzel az állítást beláttuk.