Feladat: F.2234 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Akali M. ,  Beleznay F. ,  Fekete J. ,  Heckenast L. ,  Kámán L. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Kárpáti I. ,  Kertész 789 F. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Pöltl J. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szabó 200 Ágnes ,  Szabó T. ,  Szegedy P. 
Füzet: 1980/április, 155 - 158. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat, Tetraéderek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/december: F.2234

A térbeli A,B,C,D,E,F pontokról tudjuk, hogy AC=AD=BE=BF=10, AE=AF=BC=BD=12, CD=ED=11, CE=DF=5. Mekkora lehet az AB távolság ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy az adatok közt ott szerepel a C, D, E és A-ból alakítható mind a 6 pontpár közti távolság, továbbá bármelyiküket elhagyva, a maradó ponthármasra teljesülnek a háromszög egyenlőtlenségek. Eszerint ez a 4 pont egyértelműen meghatároz egy háromoldalú gúlát (tetraédert).
Ugyanezek érvényesek a C, D, E, B pontnégyesre. És mivel e két tetraéder CDE lapja közös, az A és B pontok kölcsönös helyzete, távolsága is meg van határozva annak az alternatívának az erejéig, hogy A és B a CDE síknak ugyanazon az oldalán van-e vagy nem. Megállapodhatunk, hogy A-t mindkétszer a CDE sík fölött vesszük, itt legyen a B1 megoldás is, ekkor B2, a másik megfelelő pont, a B1 tükörképe a CDE síkra.
Elsősorban ezzel a kettősséggel véljük megmagyarázni a feladat kérdésének "lehet'' szavát. Gondolnunk kell azonban az eddig nem említett F pontra is, amelynek a két tetraéder közös D csúcsától, valamint a nem közös A, B csúcsaiktól való távolságai is elő vannak írva. Ez lesz tehát a további kérdés (AB1 és AB2 kiszámítása után): létezik-e az AB1DF és az AB2DF tetraéder? Ha esetleg csak az egyik léteznék, ez egyértelművé tenné válaszunkat.
Elgondolásunk az első kérdésre: gömböt írunk a CDE háromszög mindegyik csúcsa körül, sugárnak véve az onnan A-ig ‐ illetve B-ig ‐ előírt távolságot, és mindkétszer keressük a 3 gömb közös pontjait (fönt, illetve fönt és lent), majd az ezek közti távolságokat. Ezt azonban síkbeli feladattá egyszerűsíti az az észrevétel, hogy AC=AD és BC=BD alapján A-nak és B-nek a CD élen levő vetülete egybeesik, méghozzá az él O felezőpontjában. Jelöljük S-sel az O-ban CD-re állított merőleges síkot, ekkor elég gondolnunk a gömbökből S által kimetszett körökre; pontosabban csupán 2‐2 körre, hiszen a C és D körül írt gömbök S-ben metszik egymást, közös az S-beli körük.
Egyszerűsödik a második kérdés is ugyanebből a meglátásból, illetve előre megadható a válasz: igenis lesz közös pontja az A körül AF sugárral, B körül BF, valamint D körül DF sugárral írt gömböknek ‐ a B1 és B2 megoldás mellett egyformán. Abból látjuk ezt, hogy e 3 újabb sugár rendre egyezik 1‐1 már figyelembe vett mérettel. F szerepére megfelel E-nek S-re való E* tükörképe, mert

E*D=EC=5=FD,E*A=EA=12=FA,E*B=EB=10=FB.
(Megfelel persze E*-nak a DAB1, illetve DAB2 síkra való tükörképe is, de elég belátni egy ilyen pont létezését.)
 

 
1. ábra

 

Számításaink céljára felvágjuk a tetraéder modelljének A-ból induló éleit és az oldallapokat alapélük körül belefordítjuk a CDE alaplap síkjába, legyen A-nak a CD, DE, EC él körüli befordítottja ACD, ADE, AEC. Így az oldallapok valódi nagyságban megszerkeszthetők: ACDCD s í. t. A lapokat visszaforgatva az ACD,... pontok a CD,... tengelyre merőleges egyenesek "fölött'' jutnak vissza A-ba, ezek metszéspontja tehát megadja az A-nak az alapsíkon levő A' vetületét. Az 1. ábrán mindezt a B pontra is vázoljuk. Az alapsíkon levő vetület alátámasztja S-beli gondolt szerkesztésünket (2. ábra), illetve méreteket szolgáltat hozzá.
 

 
2. ábra

 

Rátérve a számításra, az S-ben A-t, illetve B-t meghatározó egyik‐egyik kör középpontja O, illetve E-nek az f felező merőlegesen levő E' vetülete, sugaraik rendre
ϱa=CA2-CO2=69,75,ra=EA2-EE'2,ϱb=CB2-CO2=113,75,rb=EB2-EE'2.
A két középpont távolsága egyenlő a CDE háromszög E-ből induló magasságával:
OE'=E''E=CED'DCD=511112-2,52=511114,75,
másrészt hasonló háromszögekből
EE'=CO-CE''=CD2-CE22CD=4811,
és most már az E' körüli körök sugarainak számértékei:
ra=1211105,rb=2112449.
Ezt a két sugarat is szemlélteti az 1. ábra az E'AE, E'BE szakaszokban, AE, ill. BE végpontjukat az E körüli megfelelő gömbnek az alapsíkbeli főköre metszi ki f-ből.
Ezek alapján az AOE' háromszögből a cosinustétel alapján
OA'=OAcosAOE=ϱa2+OE'2-ra22OE'=-3,2346,
ebből A magassága az alapsík fölött
mA=A'A=ϱa2-OA'2=7,6998,
továbbá hasonlóan a B pontokra
OB'=5,8018,mB=B'B=±8,9492.

Ezzel tulajdonképpen A és B koordinátáit kaptuk abban a rendszerben, amelynek origója O és első tengelye f. Ezek alapján, mivel A'B'=A'O+OB'=9,0364,
AB1=A'B'2+(mA-mB)2=9,122,AB2=A'B'2+(mA+mB)2=18,943.

Megjegyzések. 1. Tetraédereink magasságai rövidebben is meghatározhatók a 6‐6 élből, de ‐ mint láttuk ‐ szükség volt A és B vetülete helyzetének meghatározására is. Ha a tetraéder egy lapjának oldalai a, b, c és a hozzájuk képest kitérő élek rendre a1, b1, c1, akkor a V térfogatra:
144V2=(a2a12+b2b12+c2c12)(a2+b2+c2+a12+b12+c12)-2a2a12(a2+a12)--2b2b12(b2+b12)-2c2c12(c2+c12)-a2b2c2-a2b12c12-a12b2c12-a12b12c2.


Hasonlóan az a, b, c oldalakkal bíró háromszög t területére
16t2=2(a2b2+b2c2+c2a2)-(a4+b4+c4)
(az ún. Herón‐féle területképlet kifejtéséből),így
mA2=(3Vt)2=144V216t2.

2. Ez a feladat sajnálatos elnézés folytán egyetlen betűben eltért a szerkesztő bizottság elgondolásától, és ezzel alapvetően megváltozott a jellege. Ez már természetes magyarázatot sejtet F "különös'' szereplésére. Előre fölhívjuk megoldóink fÍgyelmét a májusban közlendő eredeti elgondolásra.
 B. T.