Kezdőlap


Feladat:	F.2223	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kurusa Árpád
Füzet:	1980/március, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Irracionális számok és tulajdonságaik, Síkidomok átdarabolása, Sokszög lefedések, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/november: F.2223

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kirakáshoz használt téglalapok oldalai legyenek $a$ és $b$ . A nagy téglalap területe $30$ -szorosa a kis téglalap területének, ezért oldalai $a \sqrt[]{30}$ és $b \sqrt[]{30}$ . Képzeljük el, hogy a nagy téglalapot kiraktuk a kis téglalapokkal, és szemeljük ki az egyik $a \sqrt[]{30}$ hosszúságú oldalát. Erre az oldalra (befelé) kis téglalapok illeszkednek, és az egész szakaszt kitöltik (lásd az ábrát). Így ha $k$ darab kis téglalap illeszkedik az $a$ hosszúságú oldalával, $l$ pedig a $b$ hosszúságú oldalával erre a szakaszra, akkor

\begin{matrix} k a + l b = a \sqrt[]{30} . \end{matrix}

(1)

1. ábra

Hasonlóan ha az egyik

b \sqrt[]{30}

hosszúságú oldalt szemeljük ki, akkor találunk olyan nemnegatív egész

m

n

számokat, melyekre

\begin{matrix} m a + n b = b \sqrt[]{30} . \end{matrix}

(2)

Így tehát ha a feladatban leírt lefedés lehetséges, akkor találhatók olyan

k

l

m

n

nemnegatív egészek, melyekre

(1)

és

(2)

is fennáll.
A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy mennyinek kell lennie az

a / b

aránynak ahhoz, hogy az előbbi feltétel teljesüljön. Az így adódó értékek közül azután kiválogatjuk azokat, melyekre a kirakást is el lehet végezni.

(1)

-ből és

(2)

-ből

\begin{matrix} (a \sqrt[]{30} - k a) (b \sqrt[]{30} - n b) = l m a b, \end{matrix}

amit

a b \neq 0

-val végigosztva és rendezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{30} (k + n) = 30 + k n - l m . \end{matrix}

(3)

Mivel

\sqrt[]{30}

irracionális szám, és

k + n

, valamint

30 + k n - l m

egészek, azért

(3)

csak úgy állhat fenn, ha

(3)

mindkét oldala nulla, azaz

k = n = 0

, és

l \cdot m = 30

. Ezek szerint

m

(és

l

) lehetséges értékei

30

(pozitív) osztói, és

(2)

szerint

a / b = \sqrt[]{30} / m

. Így

a / b

csak a következő arányok valamelyike lehet:

\begin{matrix} \sqrt[]{30} : 1, \sqrt[]{30} : 2, \sqrt[]{30} : 3, \sqrt[]{30} : 5, \sqrt[]{30} : 6, \sqrt[]{30} : 10, \sqrt[]{30} : 15, \sqrt[]{30} : 30. \end{matrix}

(4)

Ezek az arányok tehát azok, melyekre a dőlt betűs feltétel teljesül. De ilyen oldalarányú téglalapokból kirakható hozzájuk hasonló, ahogyan azt a

2.

ábra mutatja. Így tehát a téglalapok oldalainak aránya a

(4)

alatti nyolc érték valamelyike lehet.

2. ábra

Kurusa Árpád (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A dolgozatok elbírálása az alábbi szempontok szerint történt. Helyes: a kifogástalan dolgozat. Hiányos akiknek a megoldása arra épül, hogy a kirakott téglalapok csak azonos helyzetűek lehetnek, de a bizonyítás hiányos.

1

pontot azok kaptak, akik más lehetőséget nem is vizsgáltak, mint azt, hogy a kirakott téglalapok azonos állásúak. Hibás azoknak a dolgozata, akik egy megfelelő arányt sem találtak, vagy akik elvi vagy számolási hiba miatt hamis eredményt kaptak.