Feladat: F.2223 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kurusa Árpád 
Füzet: 1980/március, 112 - 113. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb sokszögek hasonlósága, Irracionális számok és tulajdonságaik, Síkidomok átdarabolása, Sokszög lefedések, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/november: F.2223

Harminc egybevágó téglalapból egy hozzájuk hasonló téglalapot tudtunk kirakni. Mi lehet a téglalapok oldalainak aránya?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kirakáshoz használt téglalapok oldalai legyenek a és b. A nagy téglalap területe 30-szorosa a kis téglalap területének, ezért oldalai a30 és b30. Képzeljük el, hogy a nagy téglalapot kiraktuk a kis téglalapokkal, és szemeljük ki az egyik a30 hosszúságú oldalát. Erre az oldalra (befelé) kis téglalapok illeszkednek, és az egész szakaszt kitöltik (lásd az ábrát). Így ha k darab kis téglalap illeszkedik az a hosszúságú oldalával, l pedig a b hosszúságú oldalával erre a szakaszra, akkor

ka+lb=a30.(1)

 
 
1. ábra
 

Hasonlóan ha az egyik b30 hosszúságú oldalt szemeljük ki, akkor találunk olyan nemnegatív egész m, n számokat, melyekre
ma+nb=b30.(2)
Így tehát ha a feladatban leírt lefedés lehetséges, akkor találhatók olyan k, l, m, n nemnegatív egészek, melyekre (1) és (2) is fennáll.
A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy mennyinek kell lennie az a/b aránynak ahhoz, hogy az előbbi feltétel teljesüljön. Az így adódó értékek közül azután kiválogatjuk azokat, melyekre a kirakást is el lehet végezni. (1)-ből és (2)-ből
(a30-ka)(b30-nb)=lmab,


amit ab0-val végigosztva és rendezve azt kapjuk, hogy
30(k+n)=30+kn-lm.(3)
Mivel 30 irracionális szám, és k+n, valamint 30+kn-lm egészek, azért (3) csak úgy állhat fenn, ha (3) mindkét oldala nulla, azaz k=n=0, és lm=30. Ezek szerint m (és l) lehetséges értékei 30 (pozitív) osztói, és (2) szerint a/b=30/m. Így a/b csak a következő arányok valamelyike lehet:
30:1,30:2,30:3,30:5,30:6,30:10,30:15,30:30.(4)

Ezek az arányok tehát azok, melyekre a dőlt betűs feltétel teljesül. De ilyen oldalarányú téglalapokból kirakható hozzájuk hasonló, ahogyan azt a 2. ábra mutatja. Így tehát a téglalapok oldalainak aránya a (4) alatti nyolc érték valamelyike lehet.
 
 
2. ábra
 

 Kurusa Árpád (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A dolgozatok elbírálása az alábbi szempontok szerint történt. Helyes: a kifogástalan dolgozat. Hiányos akiknek a megoldása arra épül, hogy a kirakott téglalapok csak azonos helyzetűek lehetnek, de a bizonyítás hiányos.
1 pontot azok kaptak, akik más lehetőséget nem is vizsgáltak, mint azt, hogy a kirakott téglalapok azonos állásúak. Hibás azoknak a dolgozata, akik egy megfelelő arányt sem találtak, vagy akik elvi vagy számolási hiba miatt hamis eredményt kaptak.