A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a gömb középpontját -val, a mondott pontot -vel, -nak a három egyenesen való merőleges vetületét rendre -val, -vel, -vel, a keresett négyzetösszeg negyedét -nel. Jelöljük továbbá a gömbnek a egyenessel alkotott metszéspontjait -gyel, -vel, ekkor az derékszögű háromszögben | | ahol a gömb sugara (1. ábra). A másik két húr hosszát hasonlóan számolva kapjuk, hogy
1. ábra
Az derékszögű háromszögben , a , derékszögű háromszögekben pedig , . Ezek alapján | | hiszen a pontra támaszkodó, , , oldalú téglatestben testátló, így (2. ábra). Mivel legutolsó alakjában már csak a pont és a gömb adatai szerepelnek, a feladat állítását igazoltuk.
2. ábra
Megjegyzés. Mivel , ha -ből húzhatók a gömbhöz páronként merőleges metsző egyenesek, akkor . Mivel ez éppen azt jelenti, hogy nagyobb a testátlójú kocka lapátlóinál, a kapott feltétel elégséges is. Ha ugyanis , a testátlójú kocka -vel szomszédos csúcsai a kocka bármely helyzetében a gömb belső pontjai, így a -ből feléjük futó élek egyenesei valóban metszik a gömböt.
|