Kezdőlap


Feladat:	F.2222	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/február, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Derékszögű háromszögek geometriája, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: F.2222

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a gömb középpontját $O$ -val, a mondott pontot $P$ -vel, $O$ -nak a három egyenesen való merőleges vetületét rendre $A$ -val, $B$ -vel, $C$ -vel, a keresett négyzetösszeg negyedét $N$ -nel. Jelöljük továbbá a gömbnek a $P A$ egyenessel alkotott metszéspontjait $A_{1}$ -gyel, $A_{2}$ -vel, ekkor az $A_{1} A O$ derékszögű háromszögben

\begin{matrix} \frac{1}{4} A_{1} A_{2}^{2} = A_{1} A^{2} = A_{1} O^{2} - A O^{2} = R^{2} - A O^{2}, \end{matrix}

ahol

R

a gömb sugara (1. ábra). A másik két húr hosszát hasonlóan számolva kapjuk, hogy

\begin{matrix} N = 3 R^{2} - (A O^{2} + B O^{2} + C O^{2}) . \end{matrix}

1. ábra

A P O

derékszögű háromszögben

A O^{2} = P O^{2} - A P^{2}

, a

B P O

C P O

derékszögű háromszögekben pedig

B O^{2} = P O^{2} - B P^{2}

C O^{2} = P O^{2} - C P^{2}

. Ezek alapján

\begin{matrix} N - 3 R^{2} - 3 P O^{2} + (A P^{2} + B P^{2} + C P^{2}) = 3 R^{2} - 2 P O^{2}, \end{matrix}

hiszen a

P

pontra támaszkodó,

A P

B P

C P

oldalú téglatestben

P O

testátló, így

P O^{2} = A P^{2} + B P^{2} + C P^{2}

(2. ábra). Mivel

N

legutolsó alakjában már csak a pont és a gömb adatai szerepelnek, a feladat állítását igazoltuk.

2. ábra

Megjegyzés. Mivel

N > O

, ha

P

-ből húzhatók a gömbhöz páronként merőleges metsző egyenesek, akkor

R^{2} > \frac{2}{3} P O^{2}

. Mivel ez éppen azt jelenti, hogy

R

nagyobb a

P O

testátlójú kocka lapátlóinál, a kapott feltétel elégséges is. Ha ugyanis

R^{2} > \frac{2}{3} P O^{2}

, a

P O

testátlójú kocka

P

-vel szomszédos csúcsai a kocka bármely helyzetében a gömb belső pontjai, így a

P

-ből feléjük futó élek egyenesei valóban metszik a gömböt.