Kezdőlap


Feladat:	F.2218	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató Miklós , Bölcsföldi László , Gábriel Zoltán , Kántor Zsolt , Szabó 457 László , Szegedy Patrik
Füzet:	1980/március, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/október: F.2218

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nézzük meg, mit tudhatunk meg a feltétel alapján $f$ -ről. Legyen $a = a_{0}$ tetszőleges, $a_{1} = f (a_{0})$ , $a_{2} = f (a_{1}) = a_{0}^{2} - 2$ , $a_{3} = f (a_{2}) = a_{1}^{2} - 2$ stb.
Ha $a_{4} = a_{0}$ , akkor természetesen $a_{1} = a_{5}$ , $a_{2} = a_{6}$ , $a_{3} = a_{7}$ , és így $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ és $a_{3}$ (nem feltétlenül különböző) gyökei az ${(x^{2} - 2)}^{2} - 2 = x$ egyenletnek. Ezt nullára rendezzük, majd szorzattá alakítjuk:
$0 = x^{4} - 4 x^{2} - x + 2 = (x^{2} - x - 2) (x^{2} + x - 1)$ , ahonnan a gyökök $α = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}$ , $β = \frac{- \sqrt[]{5} - 1}{2}$ , $γ = - 1$ , $δ = 2$ , továbbá $α^{2} - 2 = β$ , $β^{2} - 2 = α$ , $γ^{2} - 2 = γ$ és $δ^{2} - 2 = δ$ .
A fenti meggondolásaink szerint $f (α)$ értéke csak $α$ , $β$ , $γ$ és $δ$ lehet. Nézzük mind a négy esetet külön-külön.

\begin{matrix} I. & f (α) = α. & Ekkorf (α) = f (f (α)) = α^{2} - 2 = β \neq α, ami lehetetlen. \\ II. & f (α) = β. & Ekkorf (β) = f (f (α)) = α^{2} - 2 = β, és így \\ f (β) = f (f (β)) = β^{2} - 2 = α \neq β \\ III. & f (α) = γ. & Ekkorf (γ) = f (f (α)) = α^{2} - 2 = β, \\ f (β) = f (f (γ)) = γ^{2} - 2 = γés így \\ f (γ) = f (f (β)) = β^{2} - 2 = α \neq β. \end{matrix}

IV. Hasonlóan kapunk ellentmondást az

f (α) = δ

esetben is. Mivel

f (α)

értékére több lehetőségünk nincs, az

f

függvényt az

α

helyen nem tudjuk értelmezni, a keresett függvény tehát nem létezik.

Szegedy Patrik (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)