Kezdőlap


Feladat:	F.2209	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/november, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Feladat, Egyenesek egyenlete, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: F.2209

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Nyilvánvaló, hogy a $2$ körnek az $A D$ egyenes mindkét partján van közös pontja: $M$ , ill. $N$ , és az $M N$ közös húr a $B C$ szakasz egy belső $F$ pontján halad át, hiszen csakis ez a szakasz van mind a két körnek a belsejében. A kör két húrjára ismert tétel szerint:

\begin{matrix} F A \cdot F C = F M \cdot F N = F B \cdot F D, azaz \\ F A (A C - F A) = (F A - A B) (A D - F A), \\ F A (3 - F A) = (F A - 1) (6 - F A), \end{matrix}

és innen

F A = 1, 5

egység

= F C

, függetlenül a körök megválasztásától.
Ezt kellett belátnunk.

II. megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszer origójának az

A

pontot, az

x

tengely pozitív irányú félegyenesének az

A B

félegyenest. A

k_{1}

kör középpontja rajta van

A C

felező merőlegesén, így a kör egyenlete

\begin{matrix} {(x - 1, 5)}^{2} + {(y - c)}^{2} = 1, 5^{2} + c^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

c

a kör középpontjának az ordinátája. Hasonlóan írható fel a

k_{2}

egyenlete is:

\begin{matrix} {(x - 3,5)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 2, 5^{2} + b^{2} . \end{matrix}

(2)

A két kör két közös pontjának koordinátáira (1) és (2) is teljesül, így teljesül rájuk e kettő különbsége is:

\begin{matrix} 2 (2 x - 5) + (b - c) (2 y - b - c) = - 4 + c^{2} - b^{2} . \end{matrix}

(3)

Mivel ez egyenes egyenlete, ez a két kör közös húrjának az egyenlete. Az

A C

szakasz felezőpontjának koordinátáira teljesül (3), ezzel igazoltuk a feladat állítását.