Kezdőlap


Feladat:	F.2207	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gát Gy. , Kántor Zs. , Mala J. , Pintér F. , Szegedy Patrik , Tálas Cs. , Varga Lívia , Varga T.
Füzet:	1979/november, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: F.2207

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt mutatjuk meg, hogy a sorozat felülről korlátos. $n$ -re vonatkozó teljes indukcióval belátjuk, hogy $a_{n} \leq a_{1}$ ( $n = 1$ , $2$ , $3$ , $...$ ). $n = 1$ -re igaz az állítás. Mivel a feladat nem zárja ki, hogy $i$ egyenlő legyen $j$ -vel, ezért $a_{2} \leq a_{1}$ is teljesül. Bebizonyítjuk, hogy ha $n = k$ -ra igaz az állítás, akkor igaz $n = (k + 1)$ -re is. Mivel a feladat feltétele szerint

\begin{matrix} a_{k + 1} \leq \frac{a_{k} + k a_{1}}{k + 1}, \end{matrix}

és az indukciós feltevés értelmében

a_{k} \leq a_{1}

, ezért

a_{k + 1} \leq \frac{a_{1} + k a_{1}}{k + 1} = a_{1}

. Ezzel beláttuk, hogy a sorozat felülről korlátos. A sorozat pozitív tagú, ezért alulról is korlátos. A sorozat tehát korlátos.
A sorozat alsó korlátai között van legnagyobb, mivel minden alulról korlátos sorozatnak van legnagyobb alsó korlátja, más szóval alsó határa. (Ez ismert tétel, melynek bizonyításával itt nem foglalkozunk.) Jelöljük ezt

A

-val.
A továbbiakban bebizonyítjuk, hogy az

a_{1}

a_{2}

...

sorozat konvergens, és határértéke

A

. A konvergenciát azzal igazoljuk, hogy egy bizonyos tagtól kezdve a sorozat minden

a_{n}

elemére

\begin{matrix} a_{n} < A + ε, \end{matrix}

bárhogyan adjuk is meg az

ε

pozitív számot. Mivel

A

legnagyobb alsó korlát, ezért található a sorozatnak olyan

a_{k}

eleme, amelyre

\begin{matrix} a_{k} < A + \frac{ε}{2} . \end{matrix}

A sorozatban

l

taggal tovább menve,

a_{k + l}

-re fennáll, hogy

\begin{matrix} a_{k + l} \leq \frac{l a_{k} + k a_{l}}{k + l} . \end{matrix}

Figyelembe véve az

a_{k}

-ra vonatkozó egyenlőtlenséget

\begin{matrix} a_{k + l} < \frac{l (A + \frac{ε}{2}) + k a_{l}}{k + l} . \end{matrix}

A nagyobb oldalt tovább növeljük, ha a nevezőben

k + l

helyébe

l

-et írunk. Ezért

\begin{matrix} a_{k + l} < A + \frac{ε}{2} + \frac{k a_{l}}{l} . \end{matrix}

Mivel

k a_{l} \leq k a_{1}

\frac{k a_{l}}{l} < \frac{ε}{2}

lesz, ha

l > \frac{2 k a_{1}}{ε}

, vagyis

\begin{matrix} a_{k + l} < A + ε, \end{matrix}

l

elég nagy. Ez éppen a mondott konvergenciát bizonyítja.

Szegedy Patrik (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)