Kezdőlap


Feladat:	F.2205	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1979/november, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/május: F.2205

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $a$ , $b$ gyöke (1)-nek,

\begin{matrix} a^{3} (a + 1) = 1, b^{3} (b + 1) = 1, \end{matrix}

(3)

tehát az

a^{3}

(a + 1)

, illetve

b^{3}

(b + 1)

számok egymás reciprokai. Az, hogy a

c = a b

szám gyöke (2)-nek, azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a^{3} b^{3} (c^{3} + c + 1) = c^{2} + 1. \end{matrix}

Helyettesítsük itt

a^{3}

b^{3}

értékét

(a + 1)

(b + 1)

reciprokaival, és szorozzunk is át a kapott törtek nevezőivel. Kapjuk, hogy

\begin{matrix} c^{3} + c + 1 = (c + d + 1) (c^{2} + 1), \end{matrix}

ahol

d = a + b

. Ebből a szorzás elvégzése után azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} c^{2} d + c^{2} + d = 0. \end{matrix}

(4)

Ennek helyességét fogjuk igazolni.
Vegyük a (3) alatti két egyenlet bal oldalainak a különbségét, és osszuk a

0

-tól különböző

(a - b)

számmal:

\begin{matrix} (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) + (a^{2} + a b + b^{2}) = 0. \end{matrix}

Helyettesítsünk itt

a^{3} + a^{2}

, illetve

b^{3} + b^{2}

helyére (3) alapján a

\frac{1}{a}

-t, illetve

\frac{1}{b}

-t, és használjuk

a

b

helyett ismét a

c

d

mennyiségeket:

\begin{matrix} \frac{d}{c} + c d + c = 0, \end{matrix}

amiből a

c \neq 0

számmal szorozva valóban (4)-et kapjuk.