Feladat: F.2203 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benedek Ágnes ,  Bukta Gy. ,  Csordás A. ,  Feledi Gy. ,  Hajnal P. ,  Hochenburger R. ,  Horváth Cs. ,  Kántor Zs. ,  Kassai J. ,  Király E. ,  Kovács 134 I. ,  Mala J. ,  Márkus L. ,  Németh Ágnes ,  Pintér F. ,  Porcsalmi L. ,  Ruisz T. ,  Soós Marianna ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szegedy P. ,  Szeles J. ,  Tálas Cs. ,  Varga J. ,  Varga Lívia ,  Varga T. ,  Veres Pál 
Füzet: 1979/november, 133 - 135. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Hiperbola egyenlete, Paralelogrammák, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/április: F.2203

Egy paralelogrammában az egyik átló hossza e (=26 egység), az átlók közti szög φ (=65), az oldalak különbsége d (=10 egység). Mekkorák a paralelogramma oldalai és hegyesszöge?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az ABCD paralelogrammában AC=e, BA-BC=d, az így fölvett BA>BC nagyságviszony folytán és φ<90 föltételezésével (φ a BOC szöget jelenti, ahol O az idom középpontja). Legyen továbbá BC=a, BD=f.

 
 

A cosinustétel alkalmazásával az AOB háromszögből
(a+d)2=e2+f24+ef2cosφ,
a BOC háromszögből
a2=e2+f24-ef2cosφ,
ezekből összeadással és kivonással
2a2+2ad+d2=e2+f22,2ad+d2=efcosφ=gf,


ahol rövidítésül g=ecosφ. Az utóbbiakból f kiküszöbölésével, majd rendezéssel
f2=4a2+4ad+2d2-e2=1g2(2ad+d2)2a2+da-g2(e2-2d2)+d44(g2-d2)=0.(1)



A gyökök valósak, ha a diszkrimináns
d2+g2(e2-2d2)+d4g2-d2=g2(e2-d2)g2-d2
pozitív. Ehhez ‐ mivel g<e ‐, elegendő, hogy a nevezőben d<g=ecosφ, azaz cosφ>d/e legyen. (Különben a φ-től függetlenül is, az ABC részháromszög létrejövéséhez szükséges, hogy d<e legyen.) Ha ez teljesül, akkor (1)-nek csak a nagyobbik gyöke pozitív, hiszen a két gyök összege: -d<0, a megoldás egyértelmű.
Áttérve az ABC=β kiszámításának kérdésére, érdekes észrevételt tehetünk. A cosinustételt az ABC háromszögre alkalmazva
cosβ=a2+(a+d)2-e22a(a+d)=1-e2-d22(a2+ad),
és itt a zárójelben (1) bal oldalának első két tagja áll, tehát helyettesíthető az a-t nem tartalmazó tag (-1)-szeresével. Ennek alapján β kiszámításával meg is előzhetjük az oldalakét:
cosβ=1-2(e2-d2)(g2-d2)g2(e2-2d2)+d4.

Számadatainkkal (1) pozitív gyöke a=23,95, a hosszabb oldal 33,95 egység, végül β=4946'.
 
Megjegyzés. Ugyanezen adatokból szerkesztéssel állítottuk elő a paralelogrammát az 1773. sz. gyakorlatban ‐ K. M. L. 57 (1978) 213. oldal. Az itt többször használt g szakasz az ottani OC'-nek a 2-szerese. Gondoljanak utána az érdeklődők: hogyan lehetne számítással követni a szerkesztés lépéseit.
 
II. megoldás. Válasszuk derékszögű koordináta-rendszerünk x-tengelyéül az ABCD paralelogramma adott hosszúságú AC=e átlójának egyenesét és origónak az idom középpontját; így A(-e/2, 0) és C(e/2, 0). Teljesüljön továbbá az idom B(x, y) csúcsára x>0 és y>0. Eszerint BA>BC, és így BA-BC=d, koordinátákkal kifejezve, majd négyzetre emelés és rendezés után:
(x+e2)2+y2=d+(x-e2)2+y2,2ex-d2=2d(x-e2)2+y2,


újabb négyzetre emelés és átrendezés után
4x2d2-4y2e2-d2=1.(2)

A négyzetre emelések nyomán itt x és y, másrészt d és e is páros kitevővel szerepel, emiatt ha B(x, y) kielégíti ezt, akkor D(-x, -y) is, továbbá a tengelyekre való tükörképeik is, amelyekre B'A-B'C=-d. (e előjelváltása ugyanezt adja A és C fölcserélésével.) Ez tulajdonképpen az A, C fókuszpárral és a d valós tengelyhosszal meghatározott hiperbola egyenlete.
A BD átlóegyenes egyenlete y=xtgφ, ennek alapján (1)-ből B koordinátái goniometrikus átalakításokkal és az f rövidítést bevezetve
x=de2-d2cosφ2e2cos2φ-d2=f2cosφ(>0),y=f2sinφ(>0).
Könnyű észrevenni, hogy itt
f=de2-d2e2cos2φ-d2
éppen a BD átló hosszát jelenti. Megoldás van, ha d<ecosφ(<e).
Tovább menve, a már fölírt kifejezésből
BC=(x-e2)2+y2=12(fcosφ-e)2+(fsinφ)2=12f2+e2-2efcosφ,
azonos a COB háromszögből a cosinustétel révén adódó kifejezéssel. A másik oldal ismét BA=d+BC.
Végül a paralelogramma szögét a CB és AB félegyenesek iránytangenseiből kapjuk:
tg(180-γ1)=yx-e2,tgγ2=yx+e2,
és ezekből BCD=γ1+γ2.
A feladat számadataival f=52,70x=11,14y=23,88BC=23,95BA=33,95BCD=85,55+44,69=130,24, a hegyesszög pedig 49,76=4946,.