Kezdőlap


Feladat:	F.2199	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/október, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/április: F.2199

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szóban forgó gyökök akkor valósak, ha

\begin{matrix} {(3 a + 1)}^{2} - 4 (2 a^{2} - 3 a - 2) \geq 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{2} + 18 a + 9 \geq 0. \end{matrix}

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} a \leq - 9 - 6 \sqrt[]{2} = - 17, 489, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a \geq - 9 + 6 \sqrt[]{2} = - 0, 515. \end{matrix}

A gyökök (esetleg két egybeeső gyök) négyzetösszegét a gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján határozzuk meg. A két gyököt jelölje

x_{1}

és

x_{2}

. Ekkor

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3 a + 1, \\ x_{1} x_{2} = 2 a^{2} - 3 a - 2. \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 5 a^{2} + 12 a + 5 = 5 {(a + 1, 2)}^{2} - 2, 2. \end{matrix}

Látható, hogy a kapott kifejezés értéke

a = - 1, 2

-nél a legkisebb. Az is megállapítható, hogy minél jobban eltér ettől

a

, annál nagyobb lesz a gyökök négyzetösszege.

a = - 1, 2

-nél a gyökök azonban nem valósak, az ehhez legközelebb levő megengedett érték

- 9 + 6 \sqrt[]{2}

. Ez tehát a keresett szám.

Megjegyzés. A dolgozatok elbírálása a következő szempontok alapján történt:

Helyes a kifogástalan dolgozat.

Hiányos az a dolgozat, amelyben a megoldás lényegét nem érintő kisebb számolási hiba van.

Hibás az a dolgozat, amelyben 1. a megoldás jellegét is megváltoztató számolási hiba van; 2. nem veszi figyelembe azt a kikötést, hogy a gyökök valósak legyenek és az

a = - 1, 2

-et adja meg eredményül; 3. azt mondja, hogy

a = - 1, 2

-nél a gyökök nem valósak, tehát a feladatnak nincs megoldása.