Kezdőlap


Feladat:	F.2194	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tálas Csaba
Füzet:	1979/november, 125 - 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus függvények, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/március: F.2194

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha találunk olyan $sin x_{0}$ számot, amelyre

\begin{matrix} a sin x_{0} \geq \frac{1}{2} | a |, b sin 2 x_{0} \geq \frac{1}{2} | b |, c sin 4 x_{0} \geq \frac{1}{2} | c |, \end{matrix}

(2)

egyszerre fennáll, akkor erre az

x_{0}

-ra

f (x_{0}) \geq \frac{1}{2} (| a | + | b | + | c |)

is teljesülni fog.

1. ábra

A (2) alatti egyenlőtlenségek pontosan akkor teljesülnek, ha egyrészt

\begin{matrix} | sin x_{0} | \geq \frac{1}{2}, | sin 2 x_{0} | \geq \frac{1}{2}, | sin 4 x_{0} | \geq \frac{1}{2}, \end{matrix}

(3)

másrészt

sin x_{0}

sin 2 x_{0}

sin 4 x_{0}

, előjele rendre megegyezik

a

b

c

előjelével. Felrajzolva e három függvény abszolút értékét a [

0

2 π

] intervallumban, láthatjuk, hogy (3) nyolc részintervallumban teljesül (1. ábra). Ezek végpontjainak értékét, illetve, hogy e szakaszokon mi

sin x

sin 2 x

sin 4 x

előjele, az alábbi táblázat tartalmazza.

\begin{matrix} sin x & sin 2 x & sin 4 x \\ Az intervallum végpontjai & előjele \\ 4 π / 24, 5 π / 24 & + & + & + \\ 7 π / 24, 10 π / 24 & + & + & ‐ \\ 14 π / 24, 17 π / 24 & + & ‐ & + \\ 19 π / 24, 20 π / 24 & + & ‐ & ‐ \\ 28 π / 24, 29 π / 24 & ‐ & + & + \\ 31 π / 24, 34 π / 24 & ‐ & + & ‐ \\ 38 π / 24, 41 π / 24 & ‐ & ‐ & + \\ 43 π / 24, 44 π / 24 & ‐ & ‐ & ‐ \end{matrix}

Mivel mind a 8 lehetséges előjelkombináció szerepel, adott

a

b

c

-hez

x_{0}

-ként valamelyik részintervallum tetszőleges pontját választhatjuk. Ezzel a választással (2) is teljesül, amivel a feladat állítását igazoltuk.
Tálas Csaba (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A feladattal kapcsolatban cikket közlünk a decemberi számunkban.