Kezdőlap


Feladat:	F.2188	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató M. , Bacsi Zsuzsanna , Beleznay F. , Bene Gy. , Csordás A. , Erdélyi T. , Feledi Gy. , Fodor L. , Fordán Tibor , Gát Gy. , Grolmusz V. , Hajnal P. , Horváth 169 T. , Karacs F. , Kiss 352 Gy. , Kőrössy Katalin , Kurusa Á. , Pintér F. , Sz. Nagy Cs. , Szabó 200 Á. , Tálas Cs. , Tóth 397 J. , Umann G. , Varga J. , Varga Lívia , Varga T.
Füzet:	1979/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/február: F.2188

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyettesítsük (2) jobb oldalán $α_{j}$ és $β_{j}$ helyébe az (1) szerinti kifejezéseket, majd az összevonás után keletkező kifejezésekben $f_{k}$ együtthatóját jelöljük $E_{k}$ -val.

(1) szerint

\begin{matrix} \frac{α_{0}}{2} = \frac{1}{2 n + 1} (f_{0} + f_{1} + ... + f_{2 n}) . \end{matrix}

α_{j}

-ben, ill.

β_{j}

-ben

(j = 1, 2, ..., n) f_{k}

együtthatója

\frac{2}{2 n + 1} cos (k \cdot x_{j})

, ill.

\frac{2}{2 n + 1} sin (k \cdot x_{j})

, így

\begin{matrix} E_{k} = \frac{1}{2 n + 1} + \frac{2}{2 n + 1} \sum_{j = 1}^{n} [cos (k \cdot x_{j}) \cdot cos (j \cdot x_{i}) + sin (k \cdot x_{j}) \cdot sin (j \cdot x_{i})] = \\ = \frac{1}{2 n + 1} + \frac{2}{2 n + 1} \sum_{j = 1}^{n} cos (k - i) x_{j} . \end{matrix}

Közben kihasználtuk, hogy

j x_{i} = i x_{j}

. Ha

k = i

, akkor nyilván

E_{k} = 1

. Ha igazoljuk még, hogy a

k - i = m \neq 0

esetben

\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} cos m x_{j} = - \frac{1}{2}, \end{matrix}

készen vagyunk.
Tekintsük a derékszögű koordináta‐rendszerben a

P_{0}

(1, 0) pontot. Ezt az origó körül pozitív irányban

m \cdot x_{i} (i = 1, 2, ..., 2 n)

szöggel elforgatva kapjuk a

P_{i}

pontot. Állítjuk, hogy az

{\vec{O P}}_{0}

{\vec{O P}}_{1}

...

{\vec{O P}}_{2 n}

vektorok összege a nullvektor. Mivel bármely két szomszédos vektor

m \cdot \frac{2 π}{2 n + 1}

szöget zár be, azért e szöggel elforgatva az egész rendszer önmagába megy át, tehát az összegük is, ami csak a nullvektorra áll fenn. Ezt az összefüggést a vektorok első koordinátáira felírva:

\begin{matrix} \sum_{k = 0}^{2 n} cos m \cdot x_{k} = 0. \end{matrix}

(3)

Mivel

m \cdot x_{2 n + 1 - j} = m \cdot 2 π - m \cdot x_{j}

, azért

cos m \cdot x_{j} = cos m \cdot x_{2 n + 1 - j} (j = 1, 2, ..., n)

. Ennek alapján (3) a következő alakba írható:

\begin{matrix} 2 \sum_{j = 1}^{n} cos m \cdot x_{j} + cos 0 = 0, \end{matrix}

ami éppen az igazolandó összefüggést adja.

Fordán Tibor (Körmend, Kölcsey F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Mint azt többen észrevették, a feladat szövegében volt egy apró hiba.

α_{i}

-t és

β_{i}

-t ugyanis az (1) formula az

i = 0, 1, ..., n

esetekre értelmezi, a szövegben a kitűzéskor = helyett

\neq

szerepelt.
2. A

α_{i}

β_{i}

számokat a (2) feltétel egyértelműen meghatározza, ez egy

2 n + 1

ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. Az

α_{i}

β_{i}

együtthatókat Fourier (ejtsd furié) együtthatóknak nevezik, ezek nélkülözhetetlenek a különböző rezgések tanulmányozásában (mint pl. villamos áramkörök vagy hídszerkezetek méretezésében stb.).
3. Az (1) formulák alapján a Fourier együtthatókat kb.

4 n^{2}

szorzással kaphatjuk meg (ebben már a

sin j x_{i}

, és a

cos j x_{i}

kiszámítása is benne van). Egy másik, Cooley és Tukey amerikai matematikusoktól származó eljárás a szükséges szorzások számát

(4 n \cdot log_{2} n)

-re szorítja le. Erről a "gyors Fourier‐transzformáció''-nak nevezett eljárásról bővebben olvasható Lovász‐Gács: Algoritmusok. Műszaki Könyvkiadó, 1978, 88‐90. oldalán.