|
Feladat: |
F.2188 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató M. , Bacsi Zsuzsanna , Beleznay F. , Bene Gy. , Csordás A. , Erdélyi T. , Feledi Gy. , Fodor L. , Fordán Tibor , Gát Gy. , Grolmusz V. , Hajnal P. , Horváth 169 T. , Karacs F. , Kiss 352 Gy. , Kőrössy Katalin , Kurusa Á. , Pintér F. , Sz. Nagy Cs. , Szabó 200 Á. , Tálas Cs. , Tóth 397 J. , Umann G. , Varga J. , Varga Lívia , Varga T. |
Füzet: |
1979/október,
59 - 60. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1979/február: F.2188 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Helyettesítsük (2) jobb oldalán és helyébe az (1) szerinti kifejezéseket, majd az összevonás után keletkező kifejezésekben együtthatóját jelöljük -val.
(1) szerint | | -ben, ill. -ben együtthatója , ill. , így
Közben kihasználtuk, hogy . Ha , akkor nyilván . Ha igazoljuk még, hogy a esetben készen vagyunk. Tekintsük a derékszögű koordináta‐rendszerben a (1, 0) pontot. Ezt az origó körül pozitív irányban szöggel elforgatva kapjuk a pontot. Állítjuk, hogy az , , , vektorok összege a nullvektor. Mivel bármely két szomszédos vektor szöget zár be, azért e szöggel elforgatva az egész rendszer önmagába megy át, tehát az összegük is, ami csak a nullvektorra áll fenn. Ezt az összefüggést a vektorok első koordinátáira felírva: Mivel , azért . Ennek alapján (3) a következő alakba írható: ami éppen az igazolandó összefüggést adja. Fordán Tibor (Körmend, Kölcsey F. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzések. 1. Mint azt többen észrevették, a feladat szövegében volt egy apró hiba. -t és -t ugyanis az (1) formula az esetekre értelmezi, a szövegben a kitűzéskor = helyett szerepelt. 2. A , számokat a (2) feltétel egyértelműen meghatározza, ez egy ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. Az , együtthatókat Fourier (ejtsd furié) együtthatóknak nevezik, ezek nélkülözhetetlenek a különböző rezgések tanulmányozásában (mint pl. villamos áramkörök vagy hídszerkezetek méretezésében stb.). 3. Az (1) formulák alapján a Fourier együtthatókat kb. szorzással kaphatjuk meg (ebben már a , és a kiszámítása is benne van). Egy másik, Cooley és Tukey amerikai matematikusoktól származó eljárás a szükséges szorzások számát -re szorítja le. Erről a "gyors Fourier‐transzformáció''-nak nevezett eljárásról bővebben olvasható Lovász‐Gács: Algoritmusok. Műszaki Könyvkiadó, 1978, 88‐90. oldalán.
|
|