Kezdőlap


Feladat:	F.2184	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: F.2184

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $f_{1}$ és $f_{2}$ metszéspontja az $A B$ egyenessel $D$ , ill. $E$ . ( $E$ csak $a = b$ esetén nem léteznék.) Ekkor az $A B C$ háromszög területe felírható egyrészt mint a $C D A$ és $C D B$ háromszögek területeinek összege, másrészt mint a $C E B$ és $C E A$ háromszögek területeinek különbsége.

Ha a keresett szög

γ

, e két egyenlőség a következő lesz:

\begin{matrix} a f_{1} sin \frac{γ}{2} + b f_{1} sin \frac{γ}{2} = a b sin γ, \end{matrix}

\begin{matrix} a f_{2} sin (90^{\circ} + \frac{γ}{2}) - b f_{2} sin (90^{\circ} - \frac{γ}{2}) = a b sin γ, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} f_{1} = \frac{2 a b}{a + b} cos \frac{γ}{2}, f_{2} = \frac{2 a b}{a - b} sin \frac{γ}{2} és \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{a + b}{a - b} tg \frac{γ}{2} . \end{matrix}

(2)

Ezek minden háromszögben érvényesek. Összevetve a feltétellel:

\begin{matrix} tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{3}, \frac{γ}{2} = 60^{\circ}, γ = 120^{\circ} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Fogásszerűnek lehetne minősíteni szakaszok, az

f

-ek fenti számítását területek révén. Kiszámíthatók az

f

-szakaszok a

C A C_{i}

háromszögekből

(i = 1,2)

a sinustétel alapján is, felhasználva az osztásarány tételét:

\begin{matrix} C_{i} A : C_{i} B = C A : C B, A C_{i} = \frac{b}{c \pm b} \cdot c, \end{matrix}

\begin{matrix} f_{i} {\begin{matrix} sin \\ cos \end{matrix} \frac{γ}{2} = A C_{i} sin α = \frac{b}{a \pm b} c sin α = \frac{a b sin γ}{a \pm b} . \end{matrix}

2. Tudatosítsuk magunkban: nem egy konkrét háromszög egy kiszemelt méretét határoztuk meg ‐ mintha a többi méret valamilyen okból nem érdekelne bennünket. A feltevésbeli kapcsolat ‐ mint egyetlen ismert összefüggés a háromszögre ‐ természetesen nem elégséges a háromszög teljes meghatározására, de speciálisan a kérdezett szög kiszámításához elégséges. Az (1) összefüggés a háromszögeknek egy egész osztályát jellemzi, és erre az osztályra érdekes módon a

C

-nél levő szög értéke közös.
Látszólag 2 mérete szerepel a háromszögeknek (1) jobb oldalán, a (2)-ben pedig 3. A következő alakítás jobban mutatja, hogy arányok kapcsolatáról van szó:

\begin{matrix} \frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{1 + \frac{b}{a}}{1 - \frac{b}{a}} tg \frac{γ}{2} . \end{matrix}