Kezdőlap


Feladat:	F.2182	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ruisz Tibor
Füzet:	1979/május, 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Függvényegyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: F.2182

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyen látható, hogy $tg 2 x = \frac{2}{ctg x - tg x}$ és ${tg}^{4} x + {ctg}^{4} x = {(ctg x - tg x)}^{4} + 4 {(ctg x - tg x)}^{2} + 2$ , ezért $tg 2 x = u$ helyettesítéssel

\begin{matrix} f (u) = {(\frac{2}{u})}^{4} + 4 {(\frac{2}{u})}^{2} + 2. \end{matrix}

Ennek alapján:

\begin{matrix} f (sin x) + f (cos x) = {(\frac{2}{sin x})}^{4} + 4 {(\frac{2}{sin x})}^{2} + {(\frac{2}{cos x})}^{4} + 4 {(\frac{2}{cos x})}^{2} + 4, \end{matrix}

és némi átalakítás után a bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} \frac{1}{sin^{4} x} + \frac{1}{cos^{4} x} + \frac{1}{sin^{2} x} + \frac{1}{cos^{2} x} \geq 12. \end{matrix}

(2)

A számtani és a mértani közép közötti összefüggést (2) bal oldalán álló pozitív számokra alkalmazva:

\begin{matrix} \frac{1}{sin^{4} x} + \frac{1}{cos^{4} x} \geq 2 \sqrt[]{\frac{1}{sin^{4} x cos^{4} x}} = \frac{8}{sin^{2} 2 x} \geq 8, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{sin^{2} x} + \frac{1}{cos^{2} x} \geq 2 \sqrt[]{\frac{1}{sin^{2} x cos^{2} x}} = \frac{8}{| sin 2 x |} \geq 4. \end{matrix}

Ezek összege éppen (2)-t adja. Egyenlőség akkor áll fenn, ha

| sin 2 x | = 1

, tehát ha

x = 45^{\circ} + k \cdot 90^{\circ}

(

k

egész).

Ruisz Tibor (Körmend, Kölcsey F. Gimn., IV. o. t.)