Kezdőlap


Feladat:	F.2181	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fodor László , Strádl János
Füzet:	1979/május, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Várható érték, Feladat, Rekurzív sorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/január: F.2181

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $| a_{i} | = | a_{i - 1} + 1 |$ feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha $a_{i}^{2} = {(a_{i - 1} + 1)}^{2}$ , azaz ha $a_{i}^{2} = a_{i - 1}^{2} + 2 a_{i - 1} + 1$ . Toldjuk meg a sorozatot 1 taggal, legyen tehát $i = 2, 3, ..., n + 1$ . Ezeket az összefüggéseket összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} + 2 (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) + n, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \frac{a_{n + 1}^{2} - a_{1}^{2} - n}{2} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{2} - \frac{n}{2} \geq - \frac{n}{2}, \end{matrix}

amit bizonyítanunk kellett.
Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

a_{n + 1} = a_{n} + 1 = 0

, azaz ha

a_{n} = - 1

. Megállapíthatjuk, hogy ebben az esetben

n

szükségképpen páros, hiszen sorozatunk szomszédos tagjai abszolút értékben mindig 1-gyel különböznek egymástól.

Strádl János (Kisbér, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. A bizonyítandó összefüggés azt fejezi ki, hogy a feladatban szereplő számsorozat tagjainak átlagértéke nem kisebb

(- \frac{1}{2})

-nél. Ezt fogjuk bizonyítani.
Feltehetjük, hogy az

a_{i}

számok között negatív szám is előfordul, különben az állítás nyilvánvalóan igaz. Így a sorozat legalább két tagú.
A sorozatban az első negatív számot egy nem negatív szám előzi meg. Legyen ez

a_{k}

. Mivel most

a_{k + 1} < 0

és

a_{k} \geq 0

, ezért

| a_{k + 1} | = | a_{k} + 1 |

alapján

a_{k + 1} = - a_{k} - 1

. Ezek szerint

a_{k} + a_{k + 1} = - 1

, azaz a szóban forgó két szám átlagértéke

- \frac{1}{2}

. E két számot elhagyva a sorozatból ‐ ha marad még számunk ‐ a felírt sorrendben a képzési szabálynak megfelelő

(n - 2)

tagból álló sorozatot nyerünk. Most ugyanis

| a_{k + 2} | = | a_{k + 1} + 1 | = | a_{k} |

, de mivel

| a_{k} | = | a_{k - 1} + 1 |

, ezért

| a_{k + 2} | = | a_{k - 1} + 1 |

, vagyis

a_{k + 2}

tekinthető úgy is, mint az

a_{k - 1}

után következő tag. Problémát csak az jelenthet, ha

k = 1

, vagyis nincs

a_{k}

-t megelőző tag. Ebben az esetben

a_{2} = - 1

és

a_{3} = 0

a_{1}

és

a_{2}

elhagyásakor tehát nem marad előttük levő elem, viszont

a_{3}

átveszi

a_{1}

szerepét.
A sorozatban balról jobbra haladva a negatív számokat az őket megelőző nem negatív taggal együtt sorban elhagyva véges számú lépésben elérhetjük, hogy csak nem negatív számok maradnak a sorozatban, vagy pedig egyáltalán nem marad elemünk. Miután sem az elhagyott, sem a megmaradó számok átlagértéke nem kisebb

(- \frac{1}{2})

-nél, ezért ezt az eredeti sorozatot alkotó valamennyi szám átlagértékéről elmondhatjuk.

Fodor László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)