Kezdőlap


Feladat:	F.2179	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh S. , Beleznay F. , Blázy Á. , Bohus G. , Cseri I. , Erdélyi T. , Fazekas G. , Feledi Gy. , Fischer P. , Fodor L. , Fürjes G. , Gaál I. , Gabriel Z. , Gyetvai A. , Gyuris Zs. , Götz Katalin , Hajnal P. , Horváth 620 F. , Horváth Á. , Kámán L. , Kántor Zs. , Karacs F. , Kőrössy Katalin , Kovács 134 L. , Kramarics Z. , Körösi G. , Lógó J. , Mala J. , Mikó Teréz , Molnár Anna , Pátkai Andrea , Pintér 395 F. , Regős Enikő , Simon M. , Szabó 313 I. , Szendrei Gy. , Szily Márta , Varga Lívia , Varga T.
Füzet:	1979/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Sokszögek szimmetriái, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/december: F.2179

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C D$ trapézban $A B ∥ C D$ , $A B = 2 a \geq 2 b = C D$ , a körülírt kör középpontja $O$ , a beírt köré $K$ . Mivel van beírt kör, azért $A D + B C = 2 A D = 2 (a + b)$ , és a beírt kör átmérője a trapéz magasságaként

\begin{matrix} 2 ϱ = \sqrt[]{{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}} = 2 \sqrt[]{a b}, vagyis ϱ^{2} = a b . \end{matrix}

Másrészt

O K = 1 / 2

alapján a két alap távolsága

O

-tól

\frac{1}{2} \mp ϱ

, ennélfogva

\begin{matrix} a^{2} = R^{2} - {(\frac{R}{2} - ϱ)}^{2} = \frac{3}{4} - ϱ^{2} + ϱ, b^{2} = \frac{3}{4} - ϱ^{2} - ϱ . \end{matrix}

Ezeket behelyettesítve

\begin{matrix} ϱ^{4} = a^{2} b^{2} = {(\frac{3}{4} - ϱ^{2})}^{2} - ϱ^{2}, ϱ = \sqrt[]{\frac{9}{40}} = 0, 4743 egység . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Feladatunk ‐ az előírt tengelyes szimmetria alapján ‐ speciális esete a bicentrikus négyszögnek, amelynek Euler‐Fusz-féle relációját éppen januári számunkban közöltük a 2161. feladat 3. megjegyzésében:

2 ϱ^{2} (R^{2} + d^{2}) = {(R^{2} - d^{2})}^{2}

. Innen is

\begin{matrix} ϱ^{2} = \frac{{(R^{2} - d^{2})}^{2}}{2 (R^{2} + d^{2})} = {(\frac{3}{4})}^{2} : \frac{10}{4} = \frac{9}{40} . \end{matrix}

De az egyezés ne terelje el figyelmünket a lényegről! Tetszőleges érintőt véve a belső körhöz, majd ennek a külső körön levő

P

Q

pontjaiból megrajzolva a belső kör második érintőit, az ezek által kimetszett

T

és

S

pontokat összekötő húr "zárja az érintőnégyszöget'', érinti a kört.
2. Kiadódik a

ϱ^{2} = a b

összefüggés abból is, hogy a szögfelezők révén az

A D K

háromszög derékszögű, másrészt befogói átfogóként szerepelnek azokban a derékszögű háromszögekben, amelyekben a befogók

a

és

ϱ

, ill.

b

és

ϱ