Feladat: F.2179 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh S. ,  Beleznay F. ,  Blázy Á. ,  Bohus G. ,  Cseri I. ,  Erdélyi T. ,  Fazekas G. ,  Feledi Gy. ,  Fischer P. ,  Fodor L. ,  Fürjes G. ,  Gaál I. ,  Gabriel Z. ,  Gyetvai A. ,  Gyuris Zs. ,  Götz Katalin ,  Hajnal P. ,  Horváth 620 F. ,  Horváth Á. ,  Kámán L. ,  Kántor Zs. ,  Karacs F. ,  Kőrössy Katalin ,  Kovács 134 L. ,  Kramarics Z. ,  Körösi G. ,  Lógó J. ,  Mala J. ,  Mikó Teréz ,  Molnár Anna ,  Pátkai Andrea ,  Pintér 395 F. ,  Regős Enikő ,  Simon M. ,  Szabó 313 I. ,  Szendrei Gy. ,  Szily Márta ,  Varga Lívia ,  Varga T. 
Füzet: 1979/április, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Sokszögek szimmetriái, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/december: F.2179

Egy szimmetrikus trapézba kör írható, és ennek középpontja felezi a körülírt kör rajta átmenő R=1 sugarát. Mekkora a beírt kör sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABCD trapézban ABCD, AB=2a2b=CD, a körülírt kör középpontja O, a beírt köré K. Mivel van beírt kör, azért AD+BC=2AD=2(a+b), és a beírt kör átmérője a trapéz magasságaként

2ϱ=(a+b)2-(a-b)2=2ab,vagyisϱ2=ab.

 

 

Másrészt OK=1/2 alapján a két alap távolsága O-tól 12ϱ, ennélfogva
a2=R2-(R2-ϱ)2=34-ϱ2+ϱ,b2=34-ϱ2-ϱ.

Ezeket behelyettesítve
ϱ4=a2b2=(34-ϱ2)2-ϱ2,ϱ=940=0,4743  egység.
 

Megjegyzések. 1. Feladatunk ‐ az előírt tengelyes szimmetria alapján ‐ speciális esete a bicentrikus négyszögnek, amelynek Euler‐Fusz-féle relációját éppen januári számunkban közöltük a 2161. feladat 3. megjegyzésében: 2ϱ2(R2+d2)=(R2-d2)2. Innen is
ϱ2=(R2-d2)22(R2+d2)=(34)2:104=940.

De az egyezés ne terelje el figyelmünket a lényegről! Tetszőleges érintőt véve a belső körhöz, majd ennek a külső körön levő P, Q pontjaiból megrajzolva a belső kör második érintőit, az ezek által kimetszett T és S pontokat összekötő húr "zárja az érintőnégyszöget'', érinti a kört.
2. Kiadódik a ϱ2=ab összefüggés abból is, hogy a szögfelezők révén az ADK háromszög derékszögű, másrészt befogói átfogóként szerepelnek azokban a derékszögű háromszögekben, amelyekben a befogók a és ϱ, ill. b és ϱ.