Feladat: F.2176 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szendrei György 
Füzet: 1979/április, 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/december: F.2176

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen S(x)=R(x)-P(x) és T(x)=R(x)-Q(x). A feltétel szerint S és T legfeljebb harmadfokú, továbbá

S(u)=T(u)=0(1)S(x)≥0;T(x)≥0(2)S(x)≥T(x).(3)
Megmutatjuk, hogy létezik olyan 0≤λ≤1, amelyre T(x)=λ⋅S(x). Ebből átrendezéssel adódik az eredeti állítás.
Páratlan fokú polinomfüggvények értékkészlete az egész valós számegyenes, így (2) csak úgy teljesülhet, ha S és T vagy másodfokú, vagy konstans polinom.
Ha mindkettő másodfokú, (1) és (2) adja, hogy a két polinomnak pontosan egy gyöke van, így felírhatók S(x)=a⋅(x-u)2; T(x)=b⋅(x-u)2 alakban, ahol a és b pozitívak. (3) miatt a≥b, így λ=b/a megfelel.
Ha a két polinom közül csak az egyik másodfokú, a (2) és (3) szerint csak S lehet. Ekkor (1) miatt T(x)≡0 és λ=0 megfelel.
Végül ha T(x)≡S(x)≡0, a kívánt egyenlőség bármely λ-ra teljesül. Ezzel a feladat állítását is bizonyítottuk.
 

 Szendrei György (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)