Kezdőlap


Feladat:	F.2171	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsi Zsuzsanna , Banyár J. , Baumann O. , Bene Gy. , Boros T. , Bölcsföldi L. , Erdélyi T. , Fabula A. , Gaál I. , Gát Gy. , Hajnal P. , Holup Zsuzsa , Horváth 169 T. , Horváth Á. , Kántor S. , Kántor Zs. , Karacs F. , Kiss 171 Zs. , Kiss 352 Gy. , Kovács 134 I. , Kovács 487 A. , Kurusa Á. , Lévai P. , Lorencz Kinga , Mala J. , Márkus L. , Nagy 647 G. , Náray Zsófia , Németh R. , Pátkai Andrea , Pintér 395 F. , Sárkány Ágnes , Sz. Nagy Cs. , Szabó 457 L. , Szendrei Gy. , Szilágyi Zsófia , Takács 405 Gabriella , Tóth 397 J. , Tóth T. , Varga J. , Varga Lívia , Varga T. , Vékony Cs. , Öreg E. Zs.
Füzet:	1979/március, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Rekurzív eljárások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: F.2171

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan $b_{i}$ egész számokat keresünk, melyekre $5 a_{i}^{2} - 1 = b_{i}^{2}$ , vagyis olyanokat, amelyekre az $(a_{i}, b_{i})$ számpár megoldása az

\begin{matrix} 5 x^{2} - y^{2} = 1 \end{matrix}

(1)

egyenletnek. A Pell-egyenletekről szóló cikkünk befejező részében láttuk ( 56. kötet, 193. oldal, 1978), hogyan kaphatjuk meg az (1) egyenlet összes megoldását. Az

x_{1} = 1

y_{1} = 2

pár megoldás, és általában, ha

x_{n}

és

y_{n}

olyan egészek, hogy

{(2 + \sqrt[]{5})}^{n} = y_{n} + x_{n} \sqrt[]{5}

, akkor könnyen igazolhatóan

{(2 - \sqrt[]{5})}^{n} = y_{n} - x_{n} \sqrt[]{5}

, amiből

\begin{matrix} y_{n}^{2} - 5 x_{n}^{2} = (y_{n} + x_{n} \sqrt[]{5}) (y_{n} - x_{n} \sqrt[]{5}) = {(2 + \sqrt[]{5})}^{n} \cdot {(2 - \sqrt[]{5})}^{n} = {(- 1)}^{n} . \end{matrix}

Tehát (1) további megoldásai

x_{3} = 17

y_{3} = 38

;

x_{5} = 305

y_{5} = 682

stb. Ezt összevetve az

a_{2} = 1

a_{3} = 17

a_{4} = 305

értékekkel, azt sejtjük, hogy

a_{i} = x_{2 i - 3}

. Ha ezt igazoljuk, készen vagyunk; bebizonyítottuk, hogy

5 a_{i}^{2} - 1

négyzetszám, mégpedig a

b_{i} = y_{2 i - 3}

-nak a négyzete.
Láttuk, hogy

a_{i} = x_{2 i - 3}

i = 2, 3, 4

értékekre igaz. így elegendő megmutatnunk, hogy az

x_{i}

számok kielégítik az

\begin{matrix} x_{n + 4} = 18 x_{n + 2} - x_{n} \end{matrix}

(2)

rekurzív összefüggést. Az

x_{n}

és

y_{n}

definíciója szerint

\begin{matrix} y_{n + 2} + x_{n + 2} \sqrt[]{5} = {(2 + \sqrt[]{5})}^{2} (y_{n} + x_{n} \sqrt[]{5}) = (20 x_{n} + 9 y_{n}) + (9 x_{n} + 4 y_{n}) \sqrt[]{5}, \end{matrix}

tehát

x_{n + 2} = 9 x_{n} + 4 y_{n}

;

y_{n + 2} = 20 x_{n} + 9 y_{n}

. Ezekből

x_{n + 4} = 9 x_{n + 2} + 4 y_{n + 2}

, majd ebből

x_{n + 2}

kifejezésének 9-szeresét levonva és

y_{n + 2}

kifejezésének 4-szeresét hozzáadva:

\begin{matrix} x_{n + 4} - 9 x_{n + 2} + 4 y_{n + 2} = (9 x_{n + 2} + 4 y_{n + 2}) - 9 (9 x_{n} + 4 y_{n}) + 4 (20 x_{n} + 9 y_{n}), \end{matrix}

ami éppen (2)-t adja.