Kezdőlap


Feladat:	F.2170	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Károlyi Gyula
Füzet:	1979/március, 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Négyzetszámok összege, Permutációk, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: F.2170

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1)-et a következő alakra hozhatjuk:

\begin{matrix} 2 (x_{a}^{2} + x_{b}^{2} + x_{c}^{2} + x_{d}^{2}) - 2 (x_{a} + x_{c}) (x_{b} + x_{d}) . \end{matrix}

Tekintve, hogy az első tag

a

b

c

d

megválasztásától függetlenül

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}

, azt kell meghatároznunk, hogy mely esetekben lesz

(x_{a} + x_{c}) (x_{b} + x_{d})

maximális. Vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = (x_{a} + x_{c}) + (x_{b} + x_{d}) = 2 S, \\ (x_{a} + x_{c}) - (x_{b} + x_{d}) = 2 D . \end{matrix}

Ezekkel

(x_{a} + x_{c}) (x_{b} + x_{d}) = (S + D) (S - D) = S^{2} - D^{2}

, tehát a szorzat akkor lesz a legnagyobb, ha

D

abszolút értéke minimális.
A feltétel szerint igazak a következõ relációk:

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} < x_{1} + x_{3} < {\begin{matrix} x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{4} \end{matrix} < x_{2} + x_{4} < x_{3} + x_{4} . \end{matrix}

Látható, hogy

x_{2} + x_{3}

és

x_{1} + x_{4}

különbsége a legkisebb, azaz

a

és

c

, valamint

b

és

d

értékei

2

és

3

, valamint

1

és

4

. Figyelembe véve tehát a

D

értékét meg nem változtató felcserélési lehetőségeket, a következő 8 permutáció esetén lesz az (1) összeg minimális:

\begin{matrix} \begin{matrix} a & 1 & 1 & 4 & 4 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ b & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 1 & 4 & 1 \\ c & 4 & 4 & 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ d & 3 & 2 & 3 & 2 & 1 & 4 & 1 & 4 \end{matrix} \end{matrix}

Károlyi Gyula (Budapesti Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)