A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először olyan pontok esetére igazoljuk az állítást, amelyek az háromszög középháromszögének belsejében vannak ( felezi az oldalt s í. t.). Ekkor rajta van mindegyik szakaszon, és mint könnyen belátható, benne van mind a , mind a háromszögben, ezek területeit a , szakaszok úgy osztják részekre, hogy a 3-3 rész területének összege az illető háromszög , területét adja.
1. ábra
A háromszög területének típusú képletét használva, típusú kifejezéseket fejezünk ki 2‐2 szakasz szorzatával, és fordítva, az átalakítás során kapott szorzatokat ilyen kifejezésekre értelmezünk át. Mindegyik indexre értelmezése alapján
ennélfogva rövidítéssel, majd felhasználva, hogy írhatjuk:
azaz -t úgy kapjuk, hogy -höz hozzávesszük a 2. ábra szerint , ill. jellel jelölt területeket.
2. ábra
Innen az indexek ciklikus permutációjával hasonló kifejezéseket írhatunk fel -ra és -re, és e három egyenlőség összegében a 6-6 db és jelű tag összege egyaránt az eredeti háromszög területe. Így továbbalakítással | | hiszen a másik vizsgálandó háromszög, a -ból centrumú, arányú kicsinyítéssel adódik. Ezzel az állítást említett felvételének esetére bebizonyítottuk. Hasonlóan bizonyíthatunk más figyelembe veendő helyzetei mellett is.
II. megoldás. A háromszöget a centrumból kétszeresére nagyítva, a háromszöget kapjuk. Jelöljük az háromszög súlypontját -sel, a pontnak -re vonatkozó arányú centrális hasonlóságból származó képét -vel . A feladat állítása nyilvánvalóan ekvivalens azzal, hogy a és háromszögek területe egyenlő, ezt fogjuk igazolni. Mivel rajta van az középvonalon, és ezt a mondott hasonlóság -ba viszi, rajta van az oldalon. Ezen túlmenően is igaz, és hasonlóan kapjuk, hogy az oldalnak az a pontja, melyre , pedig az oldalon van, és . Mivel az , háromszögek egyik szöge közös, területeik aránya megegyezik közös szögükre támaszkodó oldalaik szorzatainak arányával. A , háromszögek területét hasonlóan átalakítva, és általában az háromszög területét -vel jelölve kapjuk, hogy
ahol | | Mivel , , , ugyanazt kapjuk az háromszögre is:
Ezzel bebizonyítottuk a és háromszögek területének egyenlőségét.
Megjegyzések. 1. Az , , összefüggések azt jelentik, hogy a -nek az -re vonatkozó tükörképe . Mint megoldásunk második felében beláttuk, ebből következik, hogy tetszőleges , , pontok esetén egyenlő a , háromszögek területe. Ez az állítás megtalálható példaként Reiman István: Vektorok a geometriában című Középiskolai Szakköri Füzetben (Tankönyvkiadó, Budapest, 1971) a 94. oldalon. 2. Nem használtuk ki lényegesen -nek az háromszöghöz képest elfoglalt helyzetét, ezért az állítás a sík bármely pontjából kifejlesztett alakzatra érvényes. 3. Általánosabban is igaz az állítás: Legyen az háromszög -vel szemközti oldalának belsõ pontja, az szakaszok felezőpontja . Ekkor azaz nem szükséges, hogy az szakaszok egy ponton menjenek át.
3. ábra
Pintér Ferenc (Budapest, Leövey K. Gimn., IV. o. t.) |