Kezdőlap


Feladat:	F.2165	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/március, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Legnagyobb közös osztó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: F.2165

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet mindkét oldalát $x y z$ -vel szorozva, majd átrendezve

\begin{matrix} (x - z) (y - z) = z^{2} . & (2) \end{matrix}

A bal oldal két tényezője relatív prím. Tegyük fel, hogy a

p

prímszám osztója

(x - z)

-nek és

(y - z)

-nek is. Ekkor a (2) egyenlet szerint

p

osztója

z

-nek, és így osztója az

x = (x - z) + z

, valamint

y = (y - z) + z

számoknak is. Ez pedig ellentétben van azzal a feltevésünkkel, hogy az

x

y

és

z

-nek nincs

1

-nél nagyobb közös osztója.
Két relatív prím szám szorzata csak úgy lehet négyzetszám, ha mind a két tényező négyzetszám, azaz

\begin{matrix} x - z = a^{2}, y - z = b^{2}, z = a b . \end{matrix}

Végül

x + y = (x - z) + 2 z + (y - z) . = a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

, amivel a feladat állítását bizonyítottuk.

Megjegyzés. Egyúttal azt is megkaptuk, hogy (1) összes pozitív egész megoldása felírható

\begin{matrix} \frac{1}{a c (a + b)} + \frac{1}{b c (a + b)} = \frac{1}{a b c} \end{matrix}

alakban, ahol

(a, b) = 1

c

pedig tetszőleges.