Legyen a föltevés szerinti $ABC$ háromszög beírt körének középpontja $O$, magasságpontja $M$, és menjen át a kérdéses $k_0$ kör az $A$ és $B$ csúcson. (Az $O$, $M$, $A$, $B$ pontokat természetesen különbözőknek tekintjük, hiszen az ellentétes esetben arra a semmitmondó föltevésre támaszkodnánk, hogy $3$ pont $1$ körön van.)
Ismeretes, hogy bármely $ABC$ háromszög esetében az $A$, $B$, $O$ pontokkal meghatározott kör ‐ esetünkben ez a $k_0$ ‐ $D$ középpontja rajta van a háromszög köré írt $k$ kör $C$-t nem tartalmazó $AB$ ívén (és természetesen felezi ezt az ívet), lásd Gy. 1762 (1978. évi 8‐9. sz. 143. old.).
Másrészt azt is tudjuk, hogy minden háromszög esetében $k$ átmegy $M$-nek az $AB$ egyenesre mint tengelyre való $M_c$ tükörképén. Eszerint esetünkben $k_0$ a $k$-nak a tükörképe az $AB$ tengelyre. Így sugaraik egyenlők, tehát $k_0$ átmegy $k$-nak $K$ középpontján is, és $K$ az $AB$-nek azon a partján van, mint $C$, azaz mint $O$. Ezek szerint a $DKA$ háromszög egyenlő oldalú, és $AKB\sphericalangle ={120}^{\circ }$. Ebből pedig következik, hogy az $ACB$ szög fele akkora, vagyis ${60}^{\circ }$.
Az $A$, $B$, $O$ pontok mindenesetre különbözők, viszont $M$ kivételesen egybe is eshet valamelyikükkel. Ha $M$ azonos $O$-val, akkor rövidebben érünk célba: a $CO$ egyenes kettős szerepet játszik: szögfelező és magasságvonal, tehát $CA=CB$, és ez áll $AO$-ra, $BO$-ra is, $ABC$ egyenlő oldalú háromszög, $\gamma ={60}^{\circ }$.
Ha viszont $M$ az $A$ és $B$ valamelyikével azonos, akkor annál a csúcsnál derékszög van a háromszögben, és $A$, $B$, $M$ nem határoz meg kört, a harmadik csúcsnál tetszőleges hegyesszög lehetne. Ámde ‐ mint előrebocsátottuk ‐ a föltevés csak akkor mond valami érdemlegeset, ha négy különböző pontról állítja, hogy egy körön vannak.