Feladat: F.2160 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1979/február, 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasságpont, Beírt kör középpontja, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/szeptember: F.2160

Egy háromszög két csúcsa, beírt körének középpontja, valamint magasságpontja egy körön van. Számítsuk ki a háromszög harmadik csúcsánál levő szögét!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a föltevés szerinti ABC háromszög beírt körének középpontja O, magasságpontja M, és menjen át a kérdéses k0 kör az A és B csúcson. (Az O, M, A, B pontokat természetesen különbözőknek tekintjük, hiszen az ellentétes esetben arra a semmitmondó föltevésre támaszkodnánk, hogy 3 pont 1 körön van.)
Ismeretes, hogy bármely ABC háromszög esetében az A, B, O pontokkal meghatározott kör ‐ esetünkben ez a k0D középpontja rajta van a háromszög köré írt k kör C-t nem tartalmazó AB ívén (és természetesen felezi ezt az ívet), lásd Gy. 1762 (1978. évi 8‐9. sz. 143. old.).
Másrészt azt is tudjuk, hogy minden háromszög esetében k átmegy M-nek az AB egyenesre mint tengelyre való Mc tükörképén. Eszerint esetünkben k0 a k-nak a tükörképe az AB tengelyre. Így sugaraik egyenlők, tehát k0 átmegy k-nak K középpontján is, és K az AB-nek azon a partján van, mint C, azaz mint O. Ezek szerint a DKA háromszög egyenlő oldalú, és AKB=120. Ebből pedig következik, hogy az ACB szög fele akkora, vagyis 60.
Az A, B, O pontok mindenesetre különbözők, viszont M kivételesen egybe is eshet valamelyikükkel. Ha M azonos O-val, akkor rövidebben érünk célba: a CO egyenes kettős szerepet játszik: szögfelező és magasságvonal, tehát CA=CB, és ez áll AO-ra, BO-ra is, ABC egyenlő oldalú háromszög, γ=60.
Ha viszont M az A és B valamelyikével azonos, akkor annál a csúcsnál derékszög van a háromszögben, és A, B, M nem határoz meg kört, a harmadik csúcsnál tetszőleges hegyesszög lehetne. Ámde ‐ mint előrebocsátottuk ‐ a föltevés csak akkor mond valami érdemlegeset, ha négy különböző pontról állítja, hogy egy körön vannak.

 

Megjegyzések. 1. Többen két alesetben vizsgálták a kérdést aszerint, hogy M és O az AB egyenesnek ugyanazon a partján van vagy nem. Ez a ‐ különben helyes ‐ óvatosság a fönti meggondolásban fölösleges volna; akkor helyénvaló, ha (M tükrözése helyett) az AMB szöget ‐ ami valóban vagy egyenlő AOB-vel, vagy annak kiegészítője 180-ra ‐ a magasságok felhasználásával számítjuk.
2. Többen tévesen nem föltevésnek tekintették a kitűzés első mondatát, hanem minden háromszögre érvényes tételnek. Így viszont hogy lehetne számítani? Az ,,egy''-nek ,,minden'' vagy ,,bármely'' értelemben való ‐ mintegy felkiáltás jellegű ‐ használata előfordulhat szépirodalmi szövegekben, de matematikai szövegekben nem szokásos. Több más szabatos matematikai fogalmazásmód is van, amelyben a föltevést nem ,,ha'' kezdetű mellékmondatban mondják ki.