Kezdőlap


Feladat:	F.2158	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hidas Antal
Füzet:	1979/január, 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Rekurzív eljárások, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/szeptember: F.2158

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két szám utolsó $n$ jegye akkor és csak akkor egyezik meg, ha különbségük osztható $10^{n}$ -nel. Így azt kell bizonyítanunk, hogy $a_{n + 1} - a_{n}$ osztható $10^{n}$ -nel. Az

\begin{matrix} a_{k + 1} - a_{k} = a_{k}^{2} - a_{k - 1}^{2} = (a_{k} + a_{k - 1}) (a_{k} - a_{k - 1}) \end{matrix}

összefüggést

k = n

n - 1

...

3

2

-re felírva kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{n + 1} - a_{n} = (a_{n} + a_{n - 1}) \cdot ... \cdot (a_{3} + a_{2}) \cdot (a_{2} + a_{1}) \cdot (a_{2} - a_{1}) . \end{matrix}

(1)

a_{i}

mindegyike

5

-nek valamilyen pozitív egész kitevős hatványa, ezért

5

-re végződik. Így (1) jobb oldalán mindegyik tényező

0

-ra végződik, azaz osztható

10

-zel. S mivel a tényezők száma

n

, a szorzatuk osztható

10^{n}

-nel, amit bizonyítanunk kellett.

Megjegyzés.

n ≧ 3

-ra

a_{n}

és

a_{n + 1}

utolsó

n + 1

jegye is megegyezik, hiszen (1) utolsó

3

tényezőjének szorzata nemcsak

10^{3}

-nal, hanem

10^{4}

-nel is osztható. Másrészt

a_{n}

és

a_{n + 1}

utolsó

n + 2

jegye semmilyen

n

-re sem egyezhet meg, hiszen

2^{n + 2}

nem osztója

(a_{n + 1} - a_{n})

-nek.

Hidas Pál (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)