Feladat: F.2157 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Fischer Péter 
Füzet: 1979/január, 8 - 9. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/szeptember: F.2157

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az x1x2...xk szorzatot sk-val (k=1,2,...,n). Mivel az (1) egyenletben minden hatvány kitevője páros, e hatványok nem negatívak, és így egyikük sem lehet 1-nél nagyobb. Emiatt

|sk|≦1,k=1,2,...,n.
A -1≦s≦1 szakaszon s2n≧s2n+1, hiszen a két oldal különbsége s2n(1-s)≧0. A különbség csak s=0 vagy s=1 mellett lehet 0. Emiatt (1) és (2) csak úgy teljesülhet egyszerre, ha az s1,s2...,sn szorzatok mindegyike vagy 0 vagy 1. (1) miatt azonban a szorzatok közül csak egy lehet 1-gyel egyenlő, a legelső:
s1=1,s2=...=sn=0.
Az eredeti változókra visszatérve azt kapjuk, hogy az (1), (2) egyenletrendszer összes megoldása:
x1=1,x2=1,x3,...xntetszöleges.
(Ha n=1 vagy 2, természetesen csak x1=1, illetve x1=1,x2=0 a megoldás.)
 

 Fischer Péter (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)