Kezdőlap


Feladat:	F.2152	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ármos L. , Bartke I. , Becze I. , Bene Gy. , Cseri I. , Csikós B. , Eisenberger A. , Erdélyi T. , Fegyverneki S. , Fordán T. , Horváth 619 M. , Lukács 258 Erzsébet , Mala J. , Mészáros Gy. , Pyber L. , Ráth Gy. , Sali A. , Szabó 284 Sándor , Tálas Csaba , Varga 711 G. , Varga J. , Winkler R. , Zádori L.
Füzet:	1978/november, 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: F.2152

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A ${b_{n}}$ sorozat monoton növő, hiszen

\begin{matrix} b_{n} - b_{n - 1} = \frac{a_{n}}{s_{n}^{2}} > 0. \end{matrix}

Elegendő tehát megadni egy felső korlátot, ebből a konvergencia már következik.

a_{i} > 0

miatt

s_{i} > s_{i - 1}

, következésképp:

\begin{matrix} \frac{a_{i}}{s_{i}^{2}} = \frac{s_{i} - s_{i - 1}}{s_{i}^{2}} < \frac{s_{i} - s_{i - 1}}{s_{i} \cdot s_{i - 1}} = \frac{1}{s_{i - 1}} - \frac{1}{s_{i}} . \end{matrix}

Ennek alapján kapunk egy

n

-től független felső korlátot:

\begin{matrix} b_{n} < \frac{a_{1}}{s_{1}^{2}} + \sum_{i = 2}^{n} (\frac{1}{s_{i - 1}} - \frac{1}{s_{i}}) = \frac{1}{a_{1}} + (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{s_{n}}) < \frac{2}{a_{1}} . \end{matrix}

Tálas Csaba (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., III. o. t.)