Feladat: F.2152 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ármos L. ,  Bartke I. ,  Becze I. ,  Bene Gy. ,  Cseri I. ,  Csikós B. ,  Eisenberger A. ,  Erdélyi T. ,  Fegyverneki S. ,  Fordán T. ,  Horváth 619 M. ,  Lukács 258 Erzsébet ,  Mala J. ,  Mészáros Gy. ,  Pyber L. ,  Ráth Gy. ,  Sali A. ,  Szabó 284 Sándor ,  Tálas Csaba ,  Varga 711 G. ,  Varga J. ,  Winkler R. ,  Zádori L. 
Füzet: 1978/november, 130. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/május: F.2152

Legyen ai>0(i=1,2,...), továbbá sn=i=1nai. Mutassuk meg, hogy a bn=i=1naisi2 sorozat konvergens.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A {bn} sorozat monoton növő, hiszen

bn-bn-1=ansn2>0.
Elegendő tehát megadni egy felső korlátot, ebből a konvergencia már következik. ai>0 miatt si>si-1, következésképp:
aisi2=si-si-1si2<si-si-1sisi-1=1si-1-1si.
Ennek alapján kapunk egy n-től független felső korlátot:
bn<a1s12+i=2n(1si-1-1si)=1a1+(1a1-1sn)<2a1.

 

 Tálas Csaba (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., III. o. t.)