Kezdőlap


Feladat:	F.2131	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ármos L. , Becze I. , Blázsik Z. , Boros T. , Cseri I. , Csikós Balázs , Erdélyi T. , Hajnal P. , Horváth 619 M. , Kántor S. , Pósafalvi A. , Pyber L. , Ráth Gy. , Sali A. , Schwarcz P. , Szabó 284 Sándor , Varga J. , Varga Lívia , Winkler R.
Füzet:	1978/május, 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Lefedések, Terület, felszín, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/január: F.2131

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük fel a $650$ pont mindegyike körül azt a körgyűrűt, amelynek külső, belső sugara $3$ , ill. $2$ egység. A pontokat lefedő $16$ egységnyi sugarú $k$ kör középpontja legyen $O$ . Ha $P$ az adott pontok egyike, tehát a $k$ kör egy pontja, akkor a $P$ középpontú körgyűrű bármely $Q$ pontjára:

\begin{matrix} O Q \leq O P + P Q \leq 16 + 3 = 19 egység, \end{matrix}

tehát a

650

körgyűrűt lefedi egy

O

középpontú,

19

egységnyi sugarú

k'

kör.

k'

kör területe

19^{2} \cdot π = 361 π

, a

650

körgyűrű együttes területe

650 \cdot (3^{2} - 2^{2}) π = 3250 π

. Mivel a

k'

kör területének

9

-szerese,

3249 π

, kisebb a körgyűrűk együttes területénél, a

k'

körben van olyan

R

pont, amit legalább

10

körgyűrű fed le. Jelöljük ezen körgyűrűk középpontját

P_{1}

P_{2}

...

P_{10}

-zel. Ekkor minden

j = 1

2

...

10

-re

\begin{matrix} 2 \leq R P_{j} \leq 3, \end{matrix}

vagyis

P_{j}

benne van az

R

középpontú körgyűrűben, így a kívánt lefedés megvalósítható.

Csikós Balázs (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)