Feladat: F.2131 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ármos L. ,  Becze I. ,  Blázsik Z. ,  Boros T. ,  Cseri I. ,  Csikós Balázs ,  Erdélyi T. ,  Hajnal P. ,  Horváth 619 M. ,  Kántor S. ,  Pósafalvi A. ,  Pyber L. ,  Ráth Gy. ,  Sali A. ,  Schwarcz P. ,  Szabó 284 Sándor ,  Varga J. ,  Varga Lívia ,  Winkler R. 
Füzet: 1978/május, 202. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körök, Lefedések, Terület, felszín, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/január: F.2131

A síkon úgy van kijelölve 650 különböző pont, hogy lefedhetők egy 16 egységnyi sugarú körlappal. Egy körgyűrű alakú lemez külső és belső sugara 3, ill. 2 egység. Bizonyítsuk be, hogy rá lehet tenni úgy a gyűrűt a pontrendszerre, hogy az legalább 10 pontot lefedjen.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük fel a 650 pont mindegyike körül azt a körgyűrűt, amelynek külső, belső sugara 3, ill. 2 egység. A pontokat lefedő 16 egységnyi sugarú k kör középpontja legyen O. Ha P az adott pontok egyike, tehát a k kör egy pontja, akkor a P középpontú körgyűrű bármely Q pontjára:

OQOP+PQ16+3=19egység,
tehát a 650 körgyűrűt lefedi egy O középpontú, 19 egységnyi sugarú k' kör.
 
 

A k' kör területe 192π=361π, a 650 körgyűrű együttes területe 650(32-22)π=3250π. Mivel a k' kör területének 9-szerese, 3249π, kisebb a körgyűrűk együttes területénél, a k' körben van olyan R pont, amit legalább 10 körgyűrű fed le. Jelöljük ezen körgyűrűk középpontját P1, P2, ..., P10-zel. Ekkor minden j=1, 2, ..., 10-re
2RPj3,
vagyis Pj benne van az R középpontú körgyűrűben, így a kívánt lefedés megvalósítható.
 

 Csikós Balázs (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)