Kezdőlap


Feladat:	F.2110	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/február, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: F.2110

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A Gausstól származó

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} \end{matrix}

azonosságot először az

a = n

c = n + 1

b = d = 1

választással felírva

\begin{matrix} (n^{2} + 1) ({(n + 1)}^{2} + 1) = {(n^{2} + n + 1)}^{2} + 1, \end{matrix}

(1)

másodszor az

a = n

c = n - 1

b = d = 1

választással felírva;

\begin{matrix} (n^{2} + 1) ({(n - 1)}^{2} + 1) = {(n^{2} - n + 1)}^{2} + 1. \end{matrix}

(2)

Tegyük fel, hogy valamilyen

k

-ra már találtunk olyan

n

-et, amire

n^{2} + 1

osztható

5^{k}

-nal. (Például

k = 1

-re

n = 2

vagy

n = 3

;

k = 2

-re

n = 7

megfelel.) Az

n^{2} + 1 = (n - 2) (n + 2) + 5

felírás alapján ez az

n

szám

5

-tel osztva csak

2

vagy

3

maradékot adhat. Ha a

2

maradék, akkor

{(n + 1)}^{2} + 1

osztható

5

-tel, ha

3

a maradék, akkor

{(n - 1)}^{2} + 1

osztható

5

-tel. Így vagy

(1)

vagy

(2)

bal oldala ‐ és ezzel együtt jobb oldala is ‐ osztható

5^{k + 1}

-nel. Tehát

(k + 1)

-hez is találtunk megfelelő számot, amivel a feladat állítását igazoltuk.

II. megoldás (vázlat). Belátjuk, hogy ha

5^{k}

osztója

(n^{2} + 1)

-nek, akkor

{(n^{5})}^{2} + 1

osztható

5^{k + 1}

-nel. Ebből az I. megoldásban leírtakhoz hasonlóan már következik a feladat állítása. Legyen tehát

n^{2} + 1 = M \cdot 5^{k}

(

M

egész), akkor

\begin{matrix} {(n^{5})}^{2} + 1 = {(n^{2})}^{5} + 1 = {(M \cdot 5^{k} - 1)}^{5} + 1 = & (3) \\ 5^{k + 1} (M^{5} \cdot 5^{4 k - 1} - M^{4} \cdot 5^{3 k} + 2 M^{3} \cdot 5^{2 k} - 2 M^{2} \cdot 5^{k} + M) . \end{matrix}

A zárójelben

k \geq 1

miatt egész szám áll, ami pontosan a mondott oszthatóságot jelenti.

Megjegyzés. A II. megoldásban igazolt állítás

5

helyett tetszőleges

p

páratlan prímszámmal elmondható. Ezt a Skljarszkij‐Csencov‐Jaglom: Válogatott feladatok és tételek I. kötetének 246. példájával összevetve kapjuk a következő állítást:
Minden

4 t + 1

alakú

p

prímszámhoz és minden

k

természetes számhoz van olyan

n

természetes szám, amire

(n^{2} + 1)

osztható

p

-nek

k

-adik hatványával. Igazolható továbbá az is, hogy ha

p

4 t + 3

alakú prímszám, akkor

(n^{2} + 1)

sohasem lehet osztható

p

-vel (és így

p^{k}

-nal sem).