Feladat: F.2068 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baksai R. ,  Balázs I. J. ,  Balogh J. ,  Bartke I. ,  Benkő T. ,  Blázsik Z. ,  Boros L. ,  Csapó Ildikó ,  Csikós B. ,  Filakovszky P. ,  Friedl Katalin ,  Füssy A. ,  Horváth 619 M. ,  Incze Gabriella ,  Ivanyos G. ,  Józsa M. ,  Knébel I. ,  Koncz K. ,  Lukács 258 Erzsébet ,  Máth J. ,  Molnár Mariann ,  Nemes I. ,  Pyber L. ,  Rapai T. ,  Sali A. ,  Szabó 284 Sándor ,  Szegedi M. ,  Szigeti A. ,  Szőke R. ,  Tóth Cs. 
Füzet: 1977/szeptember, 10. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Differenciálszámítás, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/december: F.2068

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen k tetszőleges, 1 és n közötti egész. A

Q(x)=P(x)|x-k|=f(x)-P(x)∑1≤i≤n|x-i|(i≠k)
függvény deriválható x=k mellett, hiszen f(x) is, P(x) is, az |x-i| függvények is deriválhatók itt tetszőleges i≠k mellett. Ha x>k e függvény differenciahányadosa
Q(x)-Q(k)x-k=P(x),
ami P(k)-hoz tart, ha x tart k-hoz. Ha viszont x<k,
Q(x)-Q(k)x-k=-P(x),
ami -P(k)-hoz tart, ha x tart k-hoz.
Mivel Q(x) deriválható x=k mellett, e két határérték egyenlő, tehát P(k)=0. Mivel itt k tetszőleges 1 és n közti egész volt, az n-ed fokú P(x)-nek már n különböző gyökéről tudunk, így csak
P(x)=a(x-1)(x-2)...(x-n)
jöhet szóba, ahol a tetszőleges 0-tól különböző szám. Ez viszont, épp a fenti gondolatmenet alapján meg is felel a követelményeknek.