Feladat: F.2063 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1977/március, 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csúsztatva tükrözés, Indirekt bizonyítási mód, Valós együtthatós polinomok, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/november: F.2063

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha állításunk nem volna igaz, meg lehetne adni olyan A, B, C, x1,x2,x3,x4 valós számokat, amelyekre x1<x2<x3<x4 és

|p(xi)-yi|<1,i=1,2,3,4
teljesülne, ahol p és az yi-k jelentése ugyanaz, mint a feladatban. Tehát a p polinom értéke
p(xi)>yi-1=0,i=1,3
miatt az x1,x3 helyeken pozitív,
p(xi)<1+yi=0,i=2,4
miatt az x2,x4 helyeken negatív volna, a polinom legalább háromszor változtatná meg az előjelét. Ámde p legfeljebb másodfokú, és egy nulladfokú polinom értékeinek az előjele állandó, egy elsőfokú egyszer és egy másodfokú legfeljebb kétszer változtatja meg az előjelét. Ezzel beláttuk, hogy az nem lehet, hogy a feladat állítása nem igaz, vagyis igazoltuk az állítást.
 

Megjegyzés. A megoldók többsége Bolzano tételére hivatkozott, mely szerint ha egy f folytonos függvény x1 és x2 között megváltoztatja az előjelét (vagyis f(x1)⋅f(x2)<0), és x1,x2 között értelmezve van, akkor f-nek van x1 és x2 között gyöke. Mint láttuk, nincs szükség erre az általános tételre, hiszen mi most p-ről nemcsak azt tudjuk, hogy folytonos, hanem ismerjük a teljes viselkedését:
 

a) vagy nulladfokú, tehát állandó,
b) vagy elsőfokú, tehát monoton,
c) vagy másodfokú, tehát monoton fogyóból vált át monoton növőbe, vagy megfordítva.
 

Általában az n-edfokú polinomnak legfeljebb n különböző természetű monotonitási szakasza lehet, tehát legfeljebb n-szer válthat a polinom előjelet. Ennek alapján bizonyítható, hogy ha
x0<x1<...<xn+1,yi=(-1)i,
és p tetszőleges, legfeljebb n-edfokú polinom, akkor
max0≤i≤n+1|p(xi)-yi|≥1.