Kezdőlap


Feladat:	F.2046	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bakondi G. , Baranyai A. , Becze I. , Belénessy Zs. , Beskó Gy. , Bodó Z. , Bognár Gabriella , Brindza B. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Cser L. , Csikós B. , Dudás Éva , Erdődy Gizella , Fodor Klára , Gubics J. , Honos A. , Horváth 117 L. , Horváth 238 L. , Hunyady L. , Incze Gabriella , Józsa M. , Kirch Z. , Kiss b. , Knébel I. , Kolozsy A. , Lugosi Erzsébet , Magyar Z. , Márkus G. , Mátrai J. , Mészáros Judit , Molnár 345 J. , Nagy 652 L. , Német V. , Németh E. , Nőthig L. , Novák Z. , Orova Piroska , Posgay Gy. , Prischetzky G. , Rapai T. , Simon B. , Spissich L. , Szabó 167 F. , Szőke R. , Tankovits T. , Tóth Cs. , Vancsó Ö. , Varga 241 I. , Wolf Gy.
Füzet:	1976/november, 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: F.2046

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a következő jelöléseket: $B C = a, C A = b, E D = x, E C = d, C D = e$ , valamint legyen a $C$ pontból húzott magasság $m$ .

Írjuk fel a három részháromszög és a teljes

A B C

háromszög 2-szeres területét kétféle módon: két oldallal és a közbezárt szög sinusával, valamint az alappal és a hozzá tartozó magassággal kifejezve, majd tegyük a kifejezéseket páronként egyenlővé:

\begin{matrix} 200 m & = a d sin 35^{\circ}, & (1) \\ x m & = d e sin 50^{\circ}, & (2) \\ 100 m & = b e sin 30^{\circ}, & (3) \\ (300 + x) m & = a b sin 115^{\circ} . & (4) \end{matrix}

Képezzük a (2) és a (4) egyenlet, valamint az (1) és a (3) egyenlet szorzatát ‐ ti. az egymás fölötti oldalak szorzatait ‐, majd az előbbi szorzatot osszuk el az utóbbival (ezt nyilvánvalóan megtehetjük, hiszen egyik terület sem

0

). Így az

a, b, d, e

segédismeretlenek kiesnek és a következő egyenletet nyerjük:

\begin{matrix} \frac{x (300 + x)}{20 000} = \frac{sin 50^{\circ} \cdot sin 115^{\circ}}{sin 35^{\circ} \cdot sin 30^{\circ}} \\ x^{2} + 300 x - 40 000 \frac{sin 50^{\circ} \cdot sin 65^{\circ}}{sin 35^{\circ}} = 0. \end{matrix}

Látjuk az együtthatók előjeleiből, hogy az egyenletnek egy pozitív és egy negatív gyöke van, feladatunknak és gondolatmenetünknek csak a pozitív gyök felel meg:

\begin{matrix} x = - 150 + \sqrt[]{22 500 + 40 000 \frac{sin 50^{\circ} sin 65^{\circ}}{sin 35^{\circ}}} = 116, 3 m . \end{matrix}

Csapó Ildikó (Sopron, Széchenyi I. Gimn.)