Feladat: F.2046 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bakondi G. ,  Baranyai A. ,  Becze I. ,  Belénessy Zs. ,  Beskó Gy. ,  Bodó Z. ,  Bognár Gabriella ,  Brindza B. ,  Csapó Ildikó ,  Cseke I. ,  Cser L. ,  Csikós B. ,  Dudás Éva ,  Erdődy Gizella ,  Fodor Klára ,  Gubics J. ,  Honos A. ,  Horváth 117 L. ,  Horváth 238 L. ,  Hunyady L. ,  Incze Gabriella ,  Józsa M. ,  Kirch Z. ,  Kiss b. ,  Knébel I. ,  Kolozsy A. ,  Lugosi Erzsébet ,  Magyar Z. ,  Márkus G. ,  Mátrai J. ,  Mészáros Judit ,  Molnár 345 J. ,  Nagy 652 L. ,  Német V. ,  Németh E. ,  Nőthig L. ,  Novák Z. ,  Orova Piroska ,  Posgay Gy. ,  Prischetzky G. ,  Rapai T. ,  Simon B. ,  Spissich L. ,  Szabó 167 F. ,  Szőke R. ,  Tankovits T. ,  Tóth Cs. ,  Vancsó Ö. ,  Varga 241 I. ,  Wolf Gy. 
Füzet: 1976/november, 134. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/május: F.2046

Az ABC háromszög AB oldalán levő D,E pontok közül D van A-hoz közelebb. AD=100m, EB=200m, ACD=30, DCE=50 és ECB=35. Mekkora a DE szakasz?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a következő jelöléseket: BC=a,CA=b,ED=x,EC=d,CD=e, valamint legyen a C pontból húzott magasság m.

 

 

Írjuk fel a három részháromszög és a teljes ABC háromszög 2-szeres területét kétféle módon: két oldallal és a közbezárt szög sinusával, valamint az alappal és a hozzá tartozó magassággal kifejezve, majd tegyük a kifejezéseket páronként egyenlővé:
200m=adsin35,(1)xm=desin50,(2)100m=besin30,(3)(300+x)m=absin115.(4)

Képezzük a (2) és a (4) egyenlet, valamint az (1) és a (3) egyenlet szorzatát ‐ ti. az egymás fölötti oldalak szorzatait ‐, majd az előbbi szorzatot osszuk el az utóbbival (ezt nyilvánvalóan megtehetjük, hiszen egyik terület sem 0). Így az a,b,d,e segédismeretlenek kiesnek és a következő egyenletet nyerjük:
x(300+x)20000=sin50sin115sin35sin30x2+300x-40000sin50sin65sin35=0.


Látjuk az együtthatók előjeleiből, hogy az egyenletnek egy pozitív és egy negatív gyöke van, feladatunknak és gondolatmenetünknek csak a pozitív gyök felel meg:
x=-150+22500+40000sin50sin65sin35=116,3m.
 

  Csapó Ildikó (Sopron, Széchenyi I. Gimn.)