Kezdőlap


Feladat:	F.2039	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Torma József
Füzet:	1976/november, 129 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: F.2039

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $x_{i} - 100$ különbséget $y_{i}$ -vel ( $1 \leq i \leq n + 1$ ). Az $y_{1} ..., y_{n + 1}$ számokra

\begin{matrix} y_{n + 1} = y_{1}, & (1a) \\ 100 y_{i} \geq 101 y_{i + 1} (i = 1, 2, ..., n), & (2a) \\ y_{1} + y_{2} + ... + y_{n} \geq 0 & (3a) \end{matrix}

teljesül. Megmutatjuk, hogy az

y_{i}

-k mind

0

-val egyenlőek. Ha volna köztük negatív, az annál nagyobb indexűek (2a) miatt mind negatívak volnának, és (1a) miatt

y_{1}

is negatív volna. Ebből (2a) szerint következne, hogy mind negatívak, ami (3a) miatt nem lehet. Tehát az

y_{i}

-k nem negatívak, így (2a)-ból:

\begin{matrix} y_{i} \geq y_{i + 1} (i = 1, 2, ..., n) \end{matrix}

(2b)

következik, vagyis az

\begin{matrix} (y_{1} - y_{2}) + (y_{2} - y_{3}) + ... + (y_{n} - y_{n + 1}) \end{matrix}

összegnek minden tagja nem negatív. Ámde (1a) miatt ez az összeg

0

-val egyenlő, így minden tagja

0

, vagyis az

y_{i}

-k egyenlőek. Közös értékük (2a) szerint csak

0

lehet, tehát az összes

y_{i} 0

-val, és az összes

x_{i} 100

-zal egyenlő.

Torma József (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn. III. o.t.)