Feladat:	F.2038	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs I. J. ,  Bodó Z. ,  Brindza B. ,  Csikós B. ,  Friedl Katalin ,  Homonnay G. ,  Horváth 712 I. ,  Hunyady L. ,  Kereszti L. ,  Magyar Z. ,  Miklós D. ,  Nagy 652 L. ,  Pörneczi T. ,  Soukup L. ,  Zimmer Zsuzsanna
Füzet:	1976/november, 128 - 129. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: F.2038

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle f^2-\left(x^4-2x\right)g^2=1.}\end{array}$ (1) Ha az $f\mathrm{,}g$ polinomokra teljesül (1), és $F\mathrm{,}G$-re is teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle F^2-\left(x^4-2x\right)G^2=\mathrm{1,}}\end{array}$ (2) akkor (1) és (2) bal oldalainak a szorzata is 1-gyel egyenlő. Ez a szorzat a tényezőivel megegyező alakra hozható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[f^2-\left(x^4-2x\right)g^2\right]\left[F^2-\left(x^4-2x\right)G^2\right]={\left[fF+\left(x^4-2x\right)gG\right]}^2-\left(x4-2x\right){\left[fG+gF\right]}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Ennek alapján két ‐ nem feltétlenül különböző ‐ megoldásból előállíthatunk egy újabb megoldást: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \phi =fF+\left(x^4-2x\right)gG\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \psi =fG+gF\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és ha $f\mathrm{,}g\mathrm{,}F\mathrm{,}G$ egész együtthatós polinomok voltak, az lesz a $\phi \mathrm{,}\psi$ polinom is. Triviális megoldása (1)-nek az $f=\mathrm{1,}g=0$ polinompár, ha azonban e mellé a vele azonos $F=\mathrm{1,}G=0$ párt vesszük, a ($\phi \mathrm{,}\psi$) pár is azonos lesz vele, így nem kapunk újabb megoldást. Ha $g$ valamilyen 0-tól különböző $c$ egésszel volna egyenlő, $f^2\left(1\right)=1-c^2$ volna, így csak $c^2=1$ jöhetne szóba. Ekkor (1)-ből $f^2=x^4-2x+1$, ami nem polinom teljes négyzete (például $x=2$ mellett sem az a helyettesítési értéke) $g$ tehát legalább elsőfokú: $g\left(x\right)=c+dx$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle f^2=\left(x^4-2x\right){\left(c+dx\right)}^2+1=d^2{x}^6+2cd{x}^5+c^2{x}^4-2d^2{x}^3-4cd{x}^2-2c^{2}x+\mathrm{1,}}\end{array}$ tehát $f$ csak $d{x}^3+c{x}^2\mp cx\pm f1$, vagy ennek $\left(-1\right)$-szerese lehet. Ennek négyzetében $x^4$ együtthatója $c^2\mp 2cd$, ami csak akkor lehet $c^2$-tel egyenlő, ha $cd=0$, tehát $c=0$, hiszen $d=0$ visszavezetne a már tárgyalt $g=c$ esetre. A $d{x}^3\pm 1$ polinom négyzetében $x^3$ együtthatója $\pm 2d$, ami csak az $\left(x^3-1\right)$ választás mellett egyenlő $-2d^2$-tel. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle f=x^3-\mathrm{1,}g=x}\end{array}$ polinomokból az $F=f\mathrm{,}G=g$ választással a (4) szerint az ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f_2={\left(x^3-1\right)}^2+x^2\left(x^4-2x\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g_2=2x\left(x^3-1\right)}\hfill \end{array}}$ megoldást kapjuk. Ebből az $F=f_2\mathrm{,}G=g_2$ választással újabb $f_3\mathrm{,}{g}_3$ párt állíthatunk elő. Általában, ha valamilyen $n$ természetes számra már meghatároztuk az $f_n\mathrm{,}{g}_n$ párt, azt az $F\mathrm{,}G$ helyére téve az ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f_{n+1}=f{f}_n+\left(x^4-2x\right)g{g}_n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g_{n+1}=f{g}_n+g{f}_n}\hfill \end{array}}$ párt kapjuk. Ha $f_{n}3n$-ed fokú, $g_n\left(3n-2\right)$-ed fokú, és mindkettőben a legmagasabb fokú tag együtthatója pozitív, e tulajdonságok öröklődnek az $f_{n+1}\mathrm{,}{g}_{n+1}$ párra. Mivel például az $f_2\mathrm{,}{g}_2$ párnak megvannak a mondott tulajdonságai, e tulajdonságok öröklődnek az egész sorozatra, tehát a sorozat elemi különbözőek. A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk.   Megjegyzés. A (3) azonosság alapja az, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle f+g\sqrt[]{x^4-2x}}\end{array}$ alakú függvények köréből a szorzás nem vezet ki. Ha ugyanis ezt a polinomot az $\begin{array}{c}{\displaystyle F+G\sqrt[]{x^4-2x}}\end{array}$ függvénnyel szorozzuk, épp a $\begin{array}{c}{\displaystyle \phi +\psi \sqrt[]{x^4-2x}}\end{array}$ függvényt kapjuk, ahol $\phi \mathrm{,}\psi$ a (4) alatti polinomok. A megoldók többsége csak azt vette észre, hogy (1)-ből négyzetreemeléssel megoldást állíthatunk elő, így az $f_n\mathrm{,}{g}_n$ sorozatnak csak az $n=2^k$ indexekhez tartozó elemeit adta meg. Persze a feladat állításának igazolásához ez is elegendő volt. Belátható, hogy $\left(-1\right)$-gyel való szorzástól eltekintve mi előállítottuk az összes megoldást.