Kezdőlap


Feladat:	F.2030	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Binzberger G. , Bodnár M. , Bodó Z. , Brindza B. , Csapó Ildikó , Csikós B. , Csúri M. , Frank J. , Fridli S. , Fried M. , Gál 327 L. , Gulyás M. , Homonnay G. , Honos A. , Horváth 712 I. , Horváth 813 J. , Hunyady L. , Húsvéti T. , Kereszti L. , Kirch Z. , Knébel I. , Koncz K. , Kozma R. , Krenedits S. , Köteles Z. , Lang Gy. , Láng Zs. , Lévai L. , Lugosi Erzsébet , Lukács 258 Erzsébet , Madocsai Zs. , Magyar Z. , Miklós D. , Misley M. , Moussong G. , Nagy 264 I. , Nagy 652 L. , Nagy L. (Miskolc) , Nőthig L. , Rapai T. , Révész Sz. LGy. , Soukup L. , Surány G. , Szalay T. , Székely Z. , Tankovits T. , Unger J. , Wéber L.
Füzet:	1976/október, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Poliéderek átdarabolása, Kocka, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: F.2030

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamilyen $n$ számú (alkalmasan összeméretezett, egybevágó vagy különböző) kockából, mindegyiket felhasználva, összeállíthatunk egy nagyobb kockát, akkor a követelményeknek megfelel az $n + 7 = (n - 1) + 2^{3} =$ $= n + (2^{3} - 1)$ szám is, hiszen az összeállítás 1 kockáját kiemelve és $8 = 2^{3}$ számú, fele akkora élű kockával helyettesítve, ismét megfelelő összeállítást kapunk. Röviden, és mindjárt eljárásunk $k$ -szori ismétlésére gondolva: ha egy $n$ szám jó, akkor jó minden $n + 7 k$ alakú szám; a $2^{3} - 1 = 7$ -es szám jó ,,növelő szám''.
Nyilvánvalóan jó szám az $n = 1$ , és az $1 + 7 k, k = 1, 2, 3, ...$ ,,jó sorozatot'' így is jellemezhetjük: jó minden olyan szám, amelyet 7-tel osztva, maradékul 1-et kapunk. ‐ Speciálisan, $k = 9$ mellett $n = 64 = 4^{3} = {(2^{2})}^{3}$ adódik, erről a jó számról rögtön látjuk, hogy többek között ide tartozik az $n = 1$ kockának egyenesen 64 egybevágó, negyed akkora élű kockával való helyettesítése; itt a lépések $k = 9 = 1 + 2^{3}$ száma így értelmezhető: először ,,feleztük'' a kocka élét, majd a 8 db mindegyikében újra feleztünk. Benne van a talált sorozatban minden ${(2^{m})}^{3}$ alakú szám.
Hasonlóan jó szám az $n = 3^{3} = 27$ is, tehát a $3^{3} - 1 = 26$ jó növelő szám. És mivel a 26-ot 7-tel osztva, nem 0 maradékot kapunk, azért újabb, 7-esével növekedő jó sorozatokat kapunk az eddigi $n = 1$ mellett a

\begin{matrix} 27 = 1 + 26, 53 = 1 + 2 \cdot 26, 79 = 1 + 3 \cdot 26, 105, 131, 157, \end{matrix}

kezdő számokból kiindulva. Valóban, ezeknek ,,7-es maradéka'' rendre

\begin{matrix} 6 4 2 0, 5, 3 \end{matrix}

csupa különböző szám. És mivel másféle 7-es maradék már nem is lehet, azért az

\begin{matrix} 1 + 7 k, 27 + 7 k, 53 + 7 k, 79 + 7 k, 105 + 7 k, 131 + 7 k, 157 + 7 k \end{matrix}

sorozatok együttvéve minden

n \geq 157

természetes számot tartalmaznak, tehát a feladat követelményének megfelel az

N = 156

szám.
De megfelel már

N = 150

is, hiszen a

151, 152, ..., 156

számok a fentiek közül nyilvánvalón egy-egy kisebb kezdőtagú jó sorozatban fordulnak elő. ‐ Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Megjegyzés. A fentiekben elég volt

k = 1, 2

és 3-ra figyelembe venni, hogy

n = k^{3}

nyilvánvalóan jó szám; sőt még ezt sem használtuk ki teljesen. Jobb kihasználással leszorítjuk

N

-et 108-ra, majd egy további hasonló lépéssel 70-re.
Állítsunk össze 27 db egységnyi élű kockából 1 db kockát, majd pótolunk ebben alkalmas 8-at 1 db 2 egységnyi élű kockával ‐ ez nyilvánvalóan megtehető. Eszerint a

20 = 3^{3} - 2^{3} + 1

jó szám, és jó növelő szám a 19. Ezt véve a fenti 26 helyére, az (1) sorozatbeli kezdő tagok helyére rendre

(26 - 19) t

-vel kisebb szám lép, ahol

t = 0, 1, ..., 6

, így adódik a

N = 150 - 6 \cdot 7 = 108

. A megmaradt két legnagyobb kezdő tag: 115 és 96. Hasonlóan a

4^{3} - 3^{3} + 1 =

= 38

jó szám és a 7-es maradékban egyezik a 115-tel, hiszen

115 - 38 = 7 \cdot 11

. Másrészt a 37 jó növelő szám, tehát jó szám a

38 + 37 = 75

; ezt írva a vele egyező maradékú 96 helyére a 77 marad legnagyobbnak jó sorozataink kezdő tagjai közül, és innen adódik a mondott

N = 70

.
Meggondolásunk nem adhat választ arra, vajon az

n = 70

szám jó-e vagy nem; tovább azonban nem próbáljuk az

N

korlát leszorítását.