Feladat: F.2030 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Balázs I. J. ,  Binzberger G. ,  Bodnár M. ,  Bodó Z. ,  Brindza B. ,  Csapó Ildikó ,  Csikós B. ,  Csúri M. ,  Frank J. ,  Fridli S. ,  Fried M. ,  Gál 327 L. ,  Gulyás M. ,  Homonnay G. ,  Honos A. ,  Horváth 712 I. ,  Horváth 813 J. ,  Hunyady L. ,  Húsvéti T. ,  Kereszti L. ,  Kirch Z. ,  Knébel I. ,  Koncz K. ,  Kozma R. ,  Krenedits S. ,  Köteles Z. ,  Lang Gy. ,  Láng Zs. ,  Lévai L. ,  Lugosi Erzsébet ,  Lukács 258 Erzsébet ,  Madocsai Zs. ,  Magyar Z. ,  Miklós D. ,  Misley M. ,  Moussong G. ,  Nagy 264 I. ,  Nagy 652 L. ,  Nagy L. (Miskolc) ,  Nőthig L. ,  Rapai T. ,  Révész Sz. LGy. ,  Soukup L. ,  Surány G. ,  Szalay T. ,  Székely Z. ,  Tankovits T. ,  Unger J. ,  Wéber L. 
Füzet: 1976/október, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Poliéderek hasonlósága, Poliéderek átdarabolása, Kocka, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/február: F.2030

Mutassuk meg, hogy van olyan N, hogy minden N-nél nagyobb n természetes számhoz meg lehet adni n kockát úgy, hogy ezekből mindegyiket felhasználva összerakhatunk egy újabb kockát!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamilyen n számú (alkalmasan összeméretezett, egybevágó vagy különböző) kockából, mindegyiket felhasználva, összeállíthatunk egy nagyobb kockát, akkor a követelményeknek megfelel az n+7=(n-1)+23= =n+(23-1) szám is, hiszen az összeállítás 1 kockáját kiemelve és 8=23 számú, fele akkora élű kockával helyettesítve, ismét megfelelő összeállítást kapunk. Röviden, és mindjárt eljárásunk k-szori ismétlésére gondolva: ha egy n szám jó, akkor jó minden n+7k alakú szám; a 23-1=7-es szám jó ,,növelő szám''.
Nyilvánvalóan jó szám az n=1, és az 1+7k,k=1,2,3,... ,,jó sorozatot'' így is jellemezhetjük: jó minden olyan szám, amelyet 7-tel osztva, maradékul 1-et kapunk. ‐ Speciálisan, k=9 mellett n=64=43=(22)3 adódik, erről a jó számról rögtön látjuk, hogy többek között ide tartozik az n=1 kockának egyenesen 64 egybevágó, negyed akkora élű kockával való helyettesítése; itt a lépések k=9=1+23 száma így értelmezhető: először ,,feleztük'' a kocka élét, majd a 8 db mindegyikében újra feleztünk. Benne van a talált sorozatban minden (2m)3 alakú szám.
Hasonlóan jó szám az n=33=27 is, tehát a 33-1=26 jó növelő szám. És mivel a 26-ot 7-tel osztva, nem 0 maradékot kapunk, azért újabb, 7-esével növekedő jó sorozatokat kapunk az eddigi n=1 mellett a

27=1+26,53=1+226,79=1+326,105,131,157,
kezdő számokból kiindulva. Valóban, ezeknek ,,7-es maradéka'' rendre
6420,5,3
csupa különböző szám. És mivel másféle 7-es maradék már nem is lehet, azért az
1+7k,27+7k,53+7k,79+7k,105+7k,131+7k,157+7k
sorozatok együttvéve minden n157 természetes számot tartalmaznak, tehát a feladat követelményének megfelel az N=156 szám.
De megfelel már N=150 is, hiszen a 151,152,...,156 számok a fentiek közül nyilvánvalón egy-egy kisebb kezdőtagú jó sorozatban fordulnak elő. ‐ Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
 

Megjegyzés. A fentiekben elég volt k=1,2 és 3-ra figyelembe venni, hogy n=k3 nyilvánvalóan jó szám; sőt még ezt sem használtuk ki teljesen. Jobb kihasználással leszorítjuk N-et 108-ra, majd egy további hasonló lépéssel 70-re.
Állítsunk össze 27 db egységnyi élű kockából 1 db kockát, majd pótolunk ebben alkalmas 8-at 1 db 2 egységnyi élű kockával ‐ ez nyilvánvalóan megtehető. Eszerint a 20=33-23+1 jó szám, és jó növelő szám a 19. Ezt véve a fenti 26 helyére, az (1) sorozatbeli kezdő tagok helyére rendre (26-19)t-vel kisebb szám lép, ahol t=0,1,...,6, így adódik a N=150-67=108. A megmaradt két legnagyobb kezdő tag: 115 és 96. Hasonlóan a 43-33+1= =38 jó szám és a 7-es maradékban egyezik a 115-tel, hiszen 115-38=711. Másrészt a 37 jó növelő szám, tehát jó szám a 38+37=75; ezt írva a vele egyező maradékú 96 helyére a 77 marad legnagyobbnak jó sorozataink kezdő tagjai közül, és innen adódik a mondott N=70.
Meggondolásunk nem adhat választ arra, vajon az n=70 szám jó-e vagy nem; tovább azonban nem próbáljuk az N korlát leszorítását.