Kezdőlap


Feladat:	F.2026	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Jónás Béla
Füzet:	1976/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Valós együtthatós polinomok, Polinomok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: F.2026

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell megmutatnunk, hogy ha az

\begin{matrix} f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0} \end{matrix}

polinomban

| a_{n} | \geq | a_{i} |

teljesül

i = 0, 1, ..., n - 1

mellett, és

| x | = t > 2

, akkor

f (x) \neq 0

. Valóban, a mondott feltételek mellett

\begin{matrix} | a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0} | \leq A (t^{n - 1} + ... + t + 1) = A \frac{t^{n} - 1}{t - 1} < A t^{n}, \end{matrix}

ahol

A = | a_{n} |

, és így

\begin{matrix} | f (x) | \geq | a_{n} x^{n} | - | a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0} | > | a_{n} x^{n} | - A t^{n} = 0. \end{matrix}

Jónás Béla (Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)