Kezdőlap


Feladat:	F.2015	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balázs I. J. , Bodó Z. , Csapó Ildikó , Cseke I. , Csikós B. , Husvéti T. , Knébel I. , Misley M. , Moussong G. , Nagy L. , Rapai T. , Soukup L.
Füzet:	1976/május, 210 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Binomiális együtthatók, Valós együtthatós polinomok, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: F.2015

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n = 1$ , (2) a

\begin{matrix} 2 (u + v + w) + a_{1} (u + v + w) = 0 \end{matrix}

azonosságot jelenti, amiből például

u = v = w = 1

mellett

a_{1} = - 2

következik, vagyis

P (x, y) = x - 2 y

. A továbbiakban feltesszük, hogy

n > 1

.
Legyen

a

tetszőleges valós szám, és helyettesítsük (2)-be az

u = a, v = a, w = 1 - 2 a

értékeket:

\begin{matrix} P (2 a, 1 - 2 a) + 2 P (1 - a, a) = 0. \end{matrix}

Eszerint a

\begin{matrix} Q (z) = P (1 - z, z) = b_{n} z^{n} + b_{n - 1} z^{n - 1} + ... + b_{1} z + b_{0} \end{matrix}

(3)

polinomra

\begin{matrix} Q (1 - 2 a) + 2 Q (a) = 0 \end{matrix}

teljesül tetszőleges

a

mellett, vagyis az

\begin{matrix} R (z) = Q (1 - 2 z) + 2 Q (z) \end{matrix}

polinom értéke minden

z = a

mellett

0

. Ez csak úgy lehet, ha az

R (z)

polinom minden együtthatója

0

-val egyenlő. Ha

Q

-ban a legmagasabb fokú,

0

-tól különböző együtthatójú tag

b_{k} z^{k} (0 ≦ k ≦ n)

, akkor

R

-ben a legmagasabb fokú tag

[{(- 2)}^{k} + 2] b_{k} z^{k}

, ami csak

k = 1

mellett egyenlő

0

-val. Ekkor

Q (z) = b_{1} z + b_{0}

, és

R (z) = b_{1} + 3 b_{0}

, tehát

b_{1} = - 3 b_{0}

, és

\begin{matrix} Q (z) = b_{0} (1 - 3 z) . \end{matrix}

(4)

(1) szerint tetszőleges olyan

(a, b)

számpárra, amelyre

a + b \neq 0

\begin{matrix} P (a, b) = {(a + b)}^{n} P (\frac{a}{a + b}, \frac{b}{a + b}), \end{matrix}

amiből (3) és (4) alapján

\begin{matrix} P (a, b) = {(a + b)}^{n} Q (\frac{b}{a + b}) = {(a + b)}^{n} b_{0} (1 - \frac{3 b}{a + b}) = b_{0} {(a + b)}^{n - 1} (a - 2 b) \end{matrix}

(5)

következik. Ha

b = - a \neq 0

, helyettesítsük (2)-be az

\begin{matrix} u = \frac{a}{2}, v = \frac{a}{2}, w = - a \end{matrix}

értékeket, így azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} P (a, - a) + 2 P (- \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) = 0. \end{matrix}

Itt ismét (1) alapján

P (a, - a) = a^{n} P (1, - 1)

P (- a / 2, a / 2) = {(- a / 2)}^{n} \cdot P (1, - 1)

, tehát

\begin{matrix} [1 + 2 {(- \frac{1}{2})}^{n}] a^{n} P (1, - 1) = 0, \end{matrix}

amiből

n > 1, a \neq 0

miatt

P (1, - 1) = 0

következik. Tehát (5) olyan

(a, b)

számpárra is igaz, melyben

b = - a \neq 0

, és nyilvánvalóan igaz (5) az

a = b = 0

számpárra is. Ezzel beláttuk, hogy (2) csak olyan

P (x, y)

polinomra teljesülhet, amelyre teljesül (5). Ennek megfordítása behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető: ha a

P (x, y)

polinomra teljesül (5), akkor nyilván teljesül rá (2) is. (5) szerint

P (1, 0) = b_{0}

, így

P (1, 0) = 1

miatt a keresett polinom

\begin{matrix} P (x, y) = {(x + y)}^{n - 1} (x - 2 y) . \end{matrix}

Ebből binomiális tétellel már könnyen megkaphatjuk

P

együtthatóit:

a_{k} = (\binom{n - 1}{k}) - 2 (\binom{n - 1}{k - 1}), k = 1, 2, ..., n

, a bevezetőben külön tárgyalt

n = 1

esetre is érvényes.

Megjegyzés. A megoldás elején felhasználtuk, hogy az

P (z)

polinom értéke csak akkor lehet minden

z = a

mellett

0

, ha a polinom minden együtthatója

0

. Ez a polinomok gyöktényezős alakja miatt van így: ha a

p (x)

polinomnak

x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}

gyöke, akkor van olyan

q (x)

polinom, hogy

\begin{matrix} p (x) = (x - x_{1}) ... (x - x_{k}) q (x), \end{matrix}

ami viszont abból következik, hogy

p (x) - p (a)

tetszőleges

a

mellett osztható

(x - a)

val. Így egy

n

-edfokú polinomnak legfeljebb

n

gyöke lehet, tehát ha egy legfeljebb

n

-edfokú polinomnak

n + 1

különböző helyen

0

az értéke, a polinom minden együtthatója

0

.
Ennek az állításnak a kétváltozós megfelelőjét használtuk fel a megoldás végén, amikor abból, hogy (5) minden

(a, b)

mellett igaz, arra következtettünk, hogy (5) megadja a keresett polinom alakját. Általában, ha a

P (x, y), Q (x, y)

polinomok értéke minden

(a, b)

mellett egyenlő, akkor tetszőleges

b

mellett a

P (x, b), Q (x, b)

polinomokra alkalmazhatjuk a fenti állítást, és mivel a polinomok együtthatói egy-egy újabb polinom

b

helyen felvett értékei, kapjuk, hogy

P

és

Q

együtthatói is egyenlőek.