Feladat: F.1986 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bezdek A. ,  Csatlócki I. ,  Fehér J. ,  Fehér Z. ,  Hujter M. ,  Ivanyos G. ,  Kiss A. ,  Koller Gy. ,  Kozma Ágnes ,  Láng A. ,  Lugosi Erzsébet ,  Márkus G. ,  Nagy G. ,  Nagy I. ,  Nagy J. ,  Nagy L. ,  Nyoszoli T. ,  Pálmai P. ,  Piszkor L. ,  Seress Á. ,  Soukup L. ,  Tokodi J. ,  Vancsó Ö. 
Füzet: 1976/november, 118 - 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/április: F.1986

Igazoljuk, hogy tetszőleges n14 természetes számhoz található olyan n-szög, amelyben mindegyik oldalegyenesen van a sokszögnek még legalább egy másik oldala (n =10 mellett ilyen az ötágú csillag).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott példát úgy visszük át minden n=2j,j7 értékre, hogy egy kör kerületét az egymás utáni A1,A2,...,Aj osztópontokkal közös belső pont nélküli egyenlő ívekre osztjuk, Ar-et összekötjük Ar+3-mal, és e húrnak a levágott rövidebb ív Ar+1,Ar+2 osztópontjaiból induló Ar+1Ar+2-vel és Ar+2Ar+5-tel való metszéspontját Br-rel, Br+2-vel jelöljük; ekkor az A1B1A2B2A3...Bj-1AjBjA1 útvonal megfelel, mindegyik oldalegyenesén pontosan két oldalszakasz van.
Páratlan oldalszám, pl. n=2j+1 mellett a követelmény teljesüléséhez szükséges, hogy legyen olyan oldalegyenes, amelyen az oldalszakaszok száma 1-nél nagyobb páratlan szám (és az ilyen egyenesek száma is páratlan legyen). Ilyet kapunk, ha az előbbi sokszög ArAr+3 oldalegyenese helyett olyan, vele párhuzamos e-t veszünk, amely elválasztja Ar+1 et és Ar+2-t a többi csúcsoktól, majd az így megszűnő Ar,Br,Br+2,Ar+3 csúcsok helyére eddigi másik oldalegyenesük e-n levő A'r,B'r,B'r+2,Ar+3 pontját vesszük, Br+1 helyére pedig hasonlóan 2 csúcsot: B'r+1-t és B''r+1-t.

 

 

Ez a szerkesztés j=6 mellett még nem használható. Belátjuk még, hogy n=13 mellett nincs is sokszög a kívánt tulajdonsággal. Ha volna, legfeljebb 6 oldalegyenese volna. Ámde, ahhoz, hogy legalább egy oldalegyenesén 3 oldala, vagyis 6 csúcsa legyen, ezek kimetszéséhez 6 további oldalegyenes kellene, ez pedig ellentmondás.