Feladat:	F.1924	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/január, 8 - 9. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Maradékos osztás, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: F.1924

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{10\left({10}^n-1\right)}{81}-\frac{n}{9}}\end{array}$ (1) Az $\left(A^n-B^n\right)=\left(A-B\right)\left(A^{n-1}+A^{n-2}B+\text{...}+B^{n-1}\right)$ összefüggés alapján $T$ a következő alakra hozható: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{10\left({10}^{n-1}+{10}^{n-2}+\text{...}+1\right)}{9}-\frac{n}{9}=\frac{{10}^n-1}{9}+\frac{{10}^{n-1}-1}{9}+\text{...}+\frac{10-1}{9}\mathrm{.}}\end{array}$ Itt a számlálók mindegyike osztható $\left(10-1\right)$-gyel, tehát $T$ valóban egész szám. Ha $j$ páros szám, akkor ${10}^j-1$ osztható $\left(10+1\right)$-gyel is, emiatt $\frac{{10}^j-1}{9}$ is osztható $11$-gyel; ha pedig $j$ páratlan, akkor a $\frac{{10}^j-1}{9}$ számot $11$-gyel osztva egyet kapunk maradékul, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{10}^j-1}{9}=10\frac{{10}^{j-1}-1}{9}+\mathrm{1,}}\end{array}$ ahol az első szám osztható $11$-gyel. Eszerint ha a fenti összeg minden tagját $11$-gyel osztjuk, annyiszor kapunk $1$ maradékot, ahány páratlan szám van $n$-ig, a többi maradék pedig $0$. Az $n$-nél nem nagyobb páratlan számok száma egyenlő $\frac{n+1}{2}$ egész részével, $\left[\frac{n+1}{2}\right]$-vel, tehát a $T:11$ osztás maradéka egyenlő az $\left[\frac{n+1}{2}\right]:11$ osztás maradékával. Ha az $\left(n+1\right)$ szám $22$-vel osztva $r$-et ad maradékul: $\begin{array}{c}{\displaystyle n+1=22m+r\mathrm{,}}\end{array}$ akkor $\frac{n+1}{2}=11m+\frac{r}{2}$, tehát a $T:11$ osztás maradéka egyenlő $\frac{r}{2}$ egész részével.   Megjegyzés. Jelöljük az (1) alatti számot $T_n$-nel. Azt, hogy ez a szám egész, a $T_n=10T_{n-1}+n$ összefüggés alapján is beláthatjuk.