A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Jelöljük az szöget -szel ‐ így nyilván elég tekinteni a értékeket ‐, továbbá az átmérőjű kört -gyel és az egyenes -t nem tartalmazó partján levő ívek ‐ ti. a , illetve részét képező ív ‐ felezőpontját -fel, illetve -gyel.
A le nem fedett részének területe egyenlő az félkör és az körszelet területének különbségével, a szelet területét pedig az körcikk és az egyenlő szárú háromszög területének különbsége adja. Hosszúságegységül -t választva, , a háromszög magassága , ezért | | Ennek szélső értéke ott lehet, ahol a derivált eltűnik: | | A két ilyen hely közül feladatunk számára egyedül az a hely lényeges, ahol a zárójelbeli kifejezés 0, azaz | | ugyanis a tényező az és helyeken tűnik el, ekkor az -ban, illetve -ben van, és így lefedetlen része 0. Az helyen -nek maximuma van, mert az értelmezési tartományban növekvő függvény, és így esetén , ha pedig , akkor . A maximum értéke egyszerű számítással 2. A pont kapott helyzetében az háromszög területének és a átmérőjű félkör területének hányadosa | | tehát a két terület valóban egyenlő.
Megjegyzések. 1. Az )-nak (1)-beli kifejezése alapján szemléletesen is bebizonyíthatjuk a feladat állítását. Felhasználhatjuk ebben, hogy az és átmérőjű körökből a által le nem fedett részek együttes területe mindig egyenlő az háromszög területével, bárhol vesszük is -t a kerületén (az ábra és pontja a -beli ív, ill. a átmérőjű félkörív felezőpontja): hiszen mindkét oldalhoz hozzáadva az és körszeletek területét, a jobb oldalon az félkör területét kapjuk, ami a bal oldal két tagja pedig az és a átmérő fölötti félkör területe, ezek összege pedig Pitagorasz tétele alapján ugyancsak Felhasználjuk azt is, hogy az és háromszögek területe egyenlő. Mármost (1) alapján fennáll Hozzáadva mindkét oldalhoz a holdacskát és figyelembe véve (2)-t, a bal oldal: a jobb oldal pedig amiből . (A közös alapon álló félkör és háromszög ,,magasságainak'' aránya .) 2. A (2) tételt ,,Hippokratész holdacskái'' néven szokás említeni. Hippokratész görög matematikus az i. e. V. században élt. Az a példa, hogy a körívekkel határolt idomok együttes területe egyenlő egy egyenes vonalú idom területével ‐ hosszú időn át táplálta azt a reményt, hogy majd sikerül a körhöz is találni vele egyenlő területi, egyenes vonalú idomot. Ha találtak volna ilyen (körzővel és egyenes vonalzóval szerkeszthető) idomot, akkor már könnyű lenne szerkeszteni vele egyenlő területű négyzetet is ‐ ezt tekintették volna a görögök a területmeghatározás befejezésének. Ma már tudjuk F. Lindemann (1852‐1939) német matematikus bizonyításából, hogy ilyen szerkesztés lehetetlen. (A mi pontunk sem szerkeszthető meg körzővel és vonalzóval; emiatt fogalmazott a szerkesztő bizottság így: ,,határozzuk meg''.) Ezt a tényt egy nem szerencsés kifejezés bevezetésével magyarul így mondták, illetve mondják: a kör négyszögesítése nehéz probléma, illetve most már lehetetlen. A ,,négyszögesítés'' szó a quadratúra (=területmeghatározás) és quadráció (idommal egyenlő területű négyzet szerkesztése) megfelelője kívánt lenni, de sok hozzá nem értő számárra ‐ sajnálatosan ‐ inkább annak mintegy jelképe lett, hogy a ‐ különben is sokak előtt nem népszerű ‐ matematika milyen hiábavalóságokkal foglalkozik. Tanulság lehet ebből, hogy idegen szakkifejezések számára csak olyan magyar megfelelőt fogadjunk el, amely a lényeget fejezi ki és nem enged félremagyarázást. Ebben pedig az is nehézség, hogy a hozzáértők beszédében, a gyakori használatban a kifejezések megrövidülnek, másrészt a kérdéssel újonnan ismerkedők (tanulók) részére gyakran mindjárt a rövid kifejezést közlik, kellő ismerkedési, megszokási idő nélkül. |
|